Question

Вычислите объем тела, образованного вращением вокруг оси х фигуры, ограниченной заданными линиями: y = x^2, x = 1, y = 0​

Answer 1

Объем тела, образованного вращением f(x) на отрезке (a,b) вокруг оси OX:

$V=\pi \int\limits^b_a {f(x)} \, dx$

В нашем случае:

$V = \pi \int\limits^1_0 {x^2} \, dx = \pi \frac{x^3}{3} | \limits^1_0 =\pi (\frac{1}{3} - 0)=\frac{\pi}{3}$

Answer 2

Для вычисления объема тела, образованного вращением фигуры вокруг оси x, мы можем использовать интеграл объема. Формула для интеграла объема вращения вокруг оси x выглядит следующим образом:

V = ∫[a,b] πy^2 dx

где [a, b] - интервал, на котором задана фигура.

В данном случае у нас есть следующие ограничения: y = x^2 (парабола) x = 1 (вертикальная линия) y = 0 (ось x)

Интервал [a, b] будет определяться значениями x, где фигура пересекается с осью x. Из ограничений видно, что фигура пересекает ось x в точках x = 0 и x = 1, поэтому интеграл объема будет браться от x = 0 до x = 1.

Теперь мы можем вычислить объем:

V = ∫[0,1] π(x^2)^2 dx = ∫[0,1] πx^4 dx

Интегрируем:

V = π * (1/5)x^5 |[0,1] = π * [(1/5) * 1^5 - (1/5) * 0^5] = π/5

Таким образом, объем тела, образованного вращением вокруг оси x фигуры, ограниченной заданными линиями, равен π/5 или приблизительно 0.628 кубических единиц.