Question

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2+1 и y=3-x

Answer 1

$y=x^2+1\; \; ,\; \; y=3-x\\\\x^2+1=3-x\; \; \to \; \; \; \; x^2+x-2=0\; ,\; \; x_1=-2\; ,\; x_2=1\\\\S=\int\limits^1_{-2}\, (3-x-(x^2+1))\, dx=\int\limits^1_{-2}\, (-x^2-x+2)\, dx=(-\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+2x)\Big |_{-2}^1=\\\\=-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+2-(\frac{8}{3}-2-4)=4,5$

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, необходимо найти точки их пересечения и вычислить определенный интеграл от их разности по оси x.

Для начала найдем точки пересечения двух функций:

y = x^2 + 1 y = 3 - x

Для этого приравняем два уравнения и решим полученное уравнение относительно x:

x^2 + 1 = 3 - x

Перепишем уравнение в виде квадратного уравнения:

x^2 + x - 2 = 0

Решим квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9

x1,2 = (-b ± √D) / (2a) = (-1 ± √9) / (2 * 1) = (-1 ± 3) / 2

x1 = (-1 + 3) / 2 = 2 / 2 = 1 x2 = (-1 - 3) / 2 = -4 / 2 = -2

Теперь у нас есть две точки пересечения: (1, 2) и (-2, 5).

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими двумя кривыми, вычислим определенный интеграл от разности y-координат кривых по оси x:

S = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx

где a и b - x-координаты точек пересечения кривых, а f(x) и g(x) - соответствующие уравнения кривых.

В нашем случае:

S = ∫[-2, 1] ((x^2 + 1) - (3 - x)) dx

Вычислим интеграл:

S = ∫[-2, 1] (x^2 + 1 - 3 + x) dx = ∫[-2, 1] (x^2 + x - 2) dx

Для решения этого интеграла, найдем первообразную (антипроизводную) функции x^2 + x - 2:

F(x) = (1/3)x^3 + (1/2)x^2 - 2x

Теперь можем вычислить площадь:

S = F(1) - F(-2) = [(1/3)(1)^3 + (1/2)(1)^2 - 2(1)] - [(1/3)(-2)^3 + (1/2)(-2)^2 - 2(-2)] = (1/3 + 1/2 - 2) - (-8/3 + 2 - 4) = (6/6 + 3/6 - 12/6) - (-8/3 + 6/3 - 12/3) = -3/6 + 10/6 = 7/6

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2 + 1 и y = 3 - x, равна 7/6 или примерно 1.17 единицы площади.