Question

1. Вычислить: sin⁡8π/7 cos⁡π/7 ─ cos⁡8π/7 sin⁡π/7 = 2. Вычислить: cos (α+β), если известно, что sinα= 4/5; cosβ= ─ 3/5 π/2 < α < π; π/2 < β< π 3. Упростить выражение: tg^2χ ─ sin^2 χ ─ tg^2χ sin^2 χ =

Answer 1

Ответ:

1) 0

2) -7/25

3) 0

Пошаговое объяснение:

1) Формула sin(x-y)=sinxcosy-sinycosx

sin⁡8π/7 cos⁡π/7 ─ cos⁡8π/7 sin⁡π/7 = sin(8π/7-⁡π/7)=sinπ=0

2) Формула: sin²x+cos²x=1

cos²α=1-sin²α=1-(4/5)²=1-16/25=9/25

π/2 < α < π⇒cosα<0⇒cosα=-3/5

sin²β=1-cos²β=1-(-3/5)²=1-9/25=16/25

π/2 < β< π⇒sinβ>0⇒sinβ=4/5

cos (α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=(-3/5)·(-3/5)-(4/5)·(4/5)=9/25-16/25=-7/25

3) Формула: sin²x+cos²x=1, tgx=sinx/cosx

tg²x-sin²x-tg²x sin²x =tg²x-tg²x sin²x-sin²x =tg²x(1-sin²x)-sin²x =

=tg²x·cos²x-sin²x =cos²x·sin²x/cos²x-sin²x=sin²x-sin²x=0

2) Другое решение

π/2 < α < π, π/2 < β< π

sin²α+cos²β=(4/5)²+(-3/5)²=16/25+9/25=1

sin²α+cos²β=1, π/2 < α < π, π/2 < β< π⇒α=β

cos (α+β)=cos2α=1-2sin²α=1-2·(4/5)²=1-32/25=-7/25

Answer 2

1. Вычислим значение выражения sin⁡(8π/7) cos⁡(π/7) - cos⁡(8π/7) sin⁡(π/7):

Используем формулу для разности двух синусов: sin(A - B) = sinA * cosB - cosA * sinB

Подставим значения: A = 8π/7, B = π/7

sin⁡(8π/7) cos⁡(π/7) - cos⁡(8π/7) sin⁡(π/7) = sin⁡(8π/7 - π/7) = sin⁡(π) = 0

Ответ: 0

2. Вычислим cos(α+β) с учетом данных sinα = 4/5 и cosβ = -3/5, а также ограничений на углы α и β:

Мы знаем, что sin²α + cos²α = 1, поэтому можно найти cosα:

cos²α = 1 - sin²α cos²α = 1 - (4/5)² cos²α = 1 - 16/25 cos²α = 9/25

Так как угол α находится в квадранте 2 (π/2 < α < π), cosα будет отрицательным:

cosα = -√(9/25) = -3/5

Теперь можем использовать формулу для cos(α+β):

cos(α+β) = cosα * cosβ - sinα * sinβ

Подставим значения: cosα = -3/5, cosβ = -3/5, sinα = 4/5, sinβ = sin(π - β) = sin(π - π/2) = sin(π/2) = 1

cos(α+β) = (-3/5) * (-3/5) - (4/5) * 1 cos(α+β) = 9/25 - 4/5 cos(α+β) = (9 - 20)/25 cos(α+β) = -11/25

Ответ: cos(α+β) = -11/25

3. Упростим выражение tg²χ - sin²χ - tg²χ * sin²χ:

Используем тригонометрические тождества: tg²χ = sin²χ / cos²χ sin²χ = (tg²χ * cos²χ) tg²χ * sin²χ = tg²χ * (tg²χ * cos²χ) = tg^4χ * cos²χ

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

tg²χ - sin²χ - tg²χ * sin²χ = sin²χ / cos²χ - sin²χ - tg^4χ * cos²χ

Общим знаменателем выражения будет cos²χ:

(sin²χ - sin^4χ - tg^4χ * cos^4χ) / cos²χ

Теперь используем тригонометрические тождества sin^2χ + cos^2χ = 1 и 1 - cos^2χ = sin^2χ:

(sin^2χ - sin^4χ - tg^4χ * (1 - sin^2χ)) / cos^2χ (sin^2χ - sin^4χ - tg^4χ + tg^4χ * sin^2χ) / cos^2χ (sin^2χ * (1 - sin^2χ) - tg^4χ) / cos^2χ

Используем тождество sin^2χ * (1 - sin^2χ) = sin^2χ - sin^4χ:

(sin^2χ - tg^4χ) / cos^2χ

Таким образом, упрощенное выражение равно (sin^2χ - tg^4χ) / cos^2χ.