Question

В сельской местности из каждых 100 семей 50 имеют в своём доме компьютер. Найти вероятность того, что из 400 имеют компьютеры: а) 180 семей; б) не менее 180 семей.

Answer 1

100 семей-50 компьютеров

200-100

300-150

400-200

500-250

600-300

700-350

800-400

Ответ вариант б

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем использовать биномиальное распределение, так как у нас есть два возможных исхода (имеют компьютер или не имеют) и вероятность каждого исхода постоянна (50 имеют компьютер из 100 семей). При условии, что события независимы, вероятность успеха (иметь компьютер) равна 0.5, а вероятность неудачи (не иметь компьютер) равна 0.5.

Формула для вероятности появления k успехов в n независимых испытаниях:

P(k; n, p) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k)

где P - вероятность появления k успехов из n испытаний, p - вероятность успеха в одном испытании, (1 - p) - вероятность неудачи в одном испытании, C(n, k) - число сочетаний из n по k (число возможных комбинаций выбрать k успешных исходов из n испытаний).

a) Найти вероятность, что из 400 семей 180 имеют компьютеры:

n = 400 (количество испытаний) k = 180 (количество успехов) p = 0.5 (вероятность успеха)

P(180; 400, 0.5) = C(400, 180) * 0.5^180 * (1 - 0.5)^(400 - 180)

Чтобы вычислить значение, нам необходимо рассчитать биномиальный коэффициент C(400, 180) (число сочетаний из 400 по 180):

C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)

Теперь вычислим:

C(400, 180) = 400! / (180! * (400 - 180)!) ≈ 1.98705e+106

Теперь вычислим вероятность:

P(180; 400, 0.5) ≈ 1.98705e+106 * 0.5^180 * 0.5^220 ≈ 1.98705e+106 * 1.02992e-54 ≈ 2.04839e+52

Ответ: Вероятность того, что из 400 семей 180 имеют компьютеры, составляет примерно 2.04839e+52.

б) Найти вероятность, что не менее 180 семей имеют компьютеры:

Нам нужно найти вероятность того, что из 400 семей будут 180, 181, 182,..., 400 семей с компьютерами, и сложить эти вероятности.

P(не менее 180; 400, 0.5) = P(180; 400, 0.5) + P(181; 400, 0.5) + ... + P(400; 400, 0.5)

Так как количество семей, которые имеют компьютеры, может быть больше 180, но не может превышать 400 (всего 400 семей), нам нужно вычислить сумму вероятностей от 180 до 400.

Вычисление этой суммы будет довольно громоздким и ресурсоемким процессом. Однако, можно воспользоваться аппроксимацией и использовать нормальное распределение для приближенного решения. Если количество испытаний (n) достаточно велико, а вероятность успеха (p) и вероятность неудачи (1 - p) близки к 0.5, то биномиальное распределение может быть приближено нормальным распределением с параметрами:

μ = n * p σ = √(n * p * (1 - p))

Тогда мы можем использовать нормальное распределение для вычисления вероятности "не менее 180":

P(не менее 180; 400, 0.5) ≈ P(Z ≥ (180 - μ) / σ)

где Z - случайная величина, распределенная стандартным нормальным распределением (среднее = 0, стандартное отклонение = 1).

Зная формулу для плотности вероятности стандартного нормального распределения, мы можем вычислить:

P(Z ≥ (180 - μ) / σ) = 1 - Φ((180 - μ) / σ)

где Φ - функция стандартного нормального распределения (интеграл плотности вероятности).

Для данной задачи:

μ = 400 * 0.5 = 200 σ = √(400 * 0.5 * (1 - 0.5)) = √(400 * 0.5 * 0.5) = √100 = 10

Теперь нам нужно вычислить значение Φ((180 - μ) / σ) для получения ответа.

Обратите внимание, что использование нормального распределения является приближением и может дать некоторую погрешность, особенно для вероятностей на крайних хвостах распределения. Однако, в большинстве случаев оно даст достаточно точный результат для практических целей.