Question

На заводе 24 сменных инженера, из них 8 женщин. В смену занято 4 человека. Найти вероятность того, что в случайно выбранную смену мужчин окажется не менее 2. Помогите решить!

Answer 1

Число возможных элементарных исходов равно числу способов выбрать  4 человека из 24, т.е. $C^4_{24}=\dfrac{24!}{4!20!}=10626$.

Подсчитаем сколькими способами можно создать смену из менее двух мужчин, т.е. $C^1_{16}C^3_8+C^4_8$

$P=\dfrac{C^1_{16}C^3_8+C^4_8}{C^4_{24}}=\dfrac{16\cdot 56+70}{10626}=\dfrac{1}{11}$ - вероятность того, что в случайно выбранную смену мужчин окажется менее 2.

Тогда искомая вероятность: $\overline{P}=1-P=1-\dfrac{1}{11}=\dfrac{10}{11}$

Ответ: 10/11.

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте воспользуемся биномиальным распределением, так как у нас есть два возможных исхода для каждого инженера - он может быть мужчиной или женщиной.

Обозначим: n - количество инженеров в смене (4 человека), p - вероятность того, что инженер мужчина (по условию, 16 инженеров из 24 - мужчины, значит p = 16/24 = 2/3), q - вероятность того, что инженер женщина (q = 1 - p = 1 - 2/3 = 1/3).

Теперь нам нужно найти вероятность того, что в смене окажется не менее 2 мужчин. Это означает, что возможны три ситуации:

1. 2 мужчины и 2 женщины в смене,
2. 3 мужчины и 1 женщина в смене,
3. 4 мужчины и 0 женщин в смене.

Давайте найдем вероятность каждой из этих ситуаций и сложим их, чтобы получить итоговую вероятность.

1. Вероятность того, что в смене будут 2 мужчины и 2 женщины: C(n, k) * p^k * q^(n-k), где C(n, k) - число сочетаний из n элементов по k (т.е. число способов выбрать k мужчин из n), а k = 2 и n = 4. C(4, 2) = 4! / (2! * (4-2)!) = 6. Вероятность: P1 = C(4, 2) * (2/3)^2 * (1/3)^2.

2. Вероятность того, что в смене будут 3 мужчины и 1 женщина: C(n, k) * p^k * q^(n-k), где k = 3 и n = 4. C(4, 3) = 4! / (3! * (4-3)!) = 4. Вероятность: P2 = C(4, 3) * (2/3)^3 * (1/3)^1.

3. Вероятность того, что в смене будут 4 мужчины и 0 женщин: C(n, k) * p^k * q^(n-k), где k = 4 и n = 4. C(4, 4) = 4! / (4! * (4-4)!) = 1. Вероятность: P3 = C(4, 4) * (2/3)^4 * (1/3)^0.

Теперь сложим вероятности для каждой ситуации, чтобы получить итоговую вероятность: P(не менее 2 мужчин) = P1 + P2 + P3.

P(не менее 2 мужчин) = (6 * (2/3)^2 * (1/3)^2) + (4 * (2/3)^3 * (1/3)^1) + (1 * (2/3)^4 * (1/3)^0)

P(не менее 2 мужчин) = (6 * 4/9 * 1/9) + (4 * 8/27 * 1/3) + (1 * 16/81 * 1)

P(не менее 2 мужчин) = 24/243 + 32/81 + 16/81

P(не менее 2 мужчин) = (24 + 96 + 16) / 243

P(не менее 2 мужчин) = 136 / 243 ≈ 0.5597.

Таким образом, вероятность того, что в случайно выбранную смену попадет не менее 2 мужчин, составляет приблизительно 0.5597 или около 56%.