Question

1)На тепловой электростанции 15 сменных инженеров, из которых 3 женщины. В смену занято 3 человека. Найти вероятность того, что в случайно выбранную смену мужчин окажется не менее двух. 2)Из колоды в 36 карт вынимаются 3 карты. Найти вероятность того, что вынуты туз и 2 десятки. 3)Изготовление детали состоит из 2-х операций. При первой операции получается 4% брака, при второй — 6% брака. Операции независимы. Найти вероятность того, что после двух операций деталь будет годной.

Answer 1

1) Не меньше 2 мужчин - это 2 или 3
Вер-сть, что мужчин будет 2:
P(2)=C(2,3)*12/15*11/14*3/13= 3*4/5*11/14*3/13=(9*2*11)/(5*7*13)= 198/455
Вер-сть, что мужчин будет 3:
P(3)=12/15*11/14*10/13= 4/5*11/14*10/13=(4*11*5)/(5*7*13) =220/455
Вер-сть, что мужчин будет не меньше 2, равна сумме этих вер-стей.
P=P(2)+P(3)=198/455+220/455=418/455
2) В колоде 36 карт 4 туза и 4 10-тки.
Вер-сть вынуть первым туза Р(1)=4/36=1/9
Вер-сть вынуть 10 после туза Р(2)=4/35
Вер-сть вынуть 10 после 10 и туза Р(3)=3/34
Вер-сть вынуть туза и две 10 Р=C(1,3)*P(1)*P(2)*P(3)= 3*1/9*4/35*3/34=2/(35*17)=2/595
3) Вер-сть, что 1 операция будет успешной Р(1)=0,96
Вер-сть, чтои2 операция будет успешной Р(2)=0,94
Вер-сть, что обе пройдут успешно
P=P(1)*P(2)=0,96*0,94=0,9024

Answer 2

1) Для решения данной задачи воспользуемся формулой условной вероятности: P(A|B) = P(A∩B) / P(B), где P(A|B) - вероятность события A при условии, что событие B произошло, P(A∩B) - вероятность одновременного наступления событий A и B, P(B) - вероятность наступления события B.

В данном случае событие A - "в смену окажется не менее двух мужчин", а событие B - "в смену были выбраны 3 человека". Из условия задачи известно, что в смене занято 3 человека, поэтому P(B) = 1 (так как это обязательное событие).

Чтобы найти P(A∩B), нужно посчитать количество благоприятных исходов для наступления событий A и B одновременно. Если в смене находятся 3 человека, то есть 3 возможных случая (все мужчины, 2 мужчины и 1 женщина, 1 мужчина и 2 женщины). Так как выбор каждого инженера случаен, вероятность выбрать мужчину или женщину равна количеству мужчин или женщин, деленному на общее количество инженеров.

Вероятность, что в смену попадут все мужчины: P(3 мужчины) = (количество способов выбрать 3 мужчин) / (общее количество способов выбрать 3 человека) P(3 мужчины) = (количество способов выбрать 3 мужчин) / C(15, 3), где C(15, 3) - количество сочетаний из 15 по 3.

Количество способов выбрать 3 мужчин из 12 (так как всего 15 - 3 женщины): P(3 мужчины) = C(12, 3) / C(15, 3).

Аналогично, можно посчитать вероятность, что в смену попадут 2 мужчины и 1 женщина: P(2 мужчины и 1 женщина) = (количество способов выбрать 2 мужчин и 1 женщину) / C(15, 3).

Последним случаем будет вероятность, что в смену попадут 1 мужчина и 2 женщины: P(1 мужчина и 2 женщины) = (количество способов выбрать 1 мужчину и 2 женщины) / C(15, 3).

Таким образом, P(A∩B) = P(3 мужчины) + P(2 мужчины и 1 женщина) + P(1 мужчина и 2 женщины).

Итак, вероятность попадания A при условии B будет равна: P(A|B) = P(A∩B) / P(B) = (P(3 мужчины) + P(2 мужчины и 1 женщина) + P(1 мужчина и 2 женщины)) / 1 = (C(12, 3) / C(15, 3) + (количество способов выбрать 2 мужчин и 1 женщину) / C(15, 3) + (количество способов выбрать 1 мужчину и 2 женщины) / C(15, 3)) / 1.

2) Для решения этой задачи воспользуемся формулой сочетаний: C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!), где C(n, k) - количество сочетаний из n элементов по k элементов.

В данном случае, мы выбираем 3 карты из 36.

Вероятность вытащить туза = количество сочетаний из 4 по 1 (количество тузов) / количество сочетаний из 36 по 3. Вероятность вытащить 2 десятки = количество сочетаний из 4 по 2 (количество десяток) / количество сочетаний из 36 по 3.

Таким образом, вероятность вытащить туза и 2 десятки будет равна: P(туз и 2 десятки) = (количество сочетаний из 4 по 1) * (количество сочетаний из 4 по 2) / (количество сочетаний из 36 по 3).

3) Для решения задачи умножим вероятности двух операций, так как они независимы.

Вероятность получить брак при первой операции = 4% = 0.04. Вероятность получить брак при второй операции = 6% = 0.06.

Таким образом, вероятность получить годную деталь после двух операций будет равна: P(годная деталь) = P(годная деталь после первой операции) * P(годная деталь после второй операции) = (1 - вероятность получить брак при первой операции) * (1 - вероятность получить брак при второй операции) = (1 - 0.04) * (1 - 0.06).