Question

Найдите площадь фигуры ограниченной линиями: y=x^2-2x y=4-x^2. Построить график.

Answer 1

Ответ:

=============================

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми, нужно сначала найти точки их пересечения. После этого мы можем вычислить определенный интеграл от функции, задающей верхнюю кривую, до функции, задающей нижнюю кривую, в интервале между точками пересечения.

1. Найдем точки пересечения:

Пусть y=x^2-2x и y=4-x^2. Чтобы найти точки пересечения, приравняем эти функции друг к другу:

x^2-2x = 4-x^2

2x^2 - 2x - 4 = 0

Теперь решим квадратное уравнение. Для этого воспользуемся квадратным корнем:

x = (-(-2) ± √((-2)^2 - 42(-4))) / (2*2)

x = (2 ± √(4 + 32)) / 4

x = (2 ± √36) / 4

x = (2 ± 6) / 4

Таким образом, получаем две точки пересечения: x = 2 и x = -1.

2. Вычислим площадь между кривыми:

Теперь, когда у нас есть точки пересечения, мы можем найти площадь фигуры ограниченной кривыми с помощью интеграла:

Площадь = ∫(верхняя функция - нижняя функция) dx от x = -1 до x = 2

Площадь = ∫((4-x^2) - (x^2-2x)) dx от x = -1 до x = 2

Площадь = ∫(4 - x^2 - x^2 + 2x) dx от x = -1 до x = 2

Площадь = ∫(2x - 2x^2) dx от x = -1 до x = 2

Теперь возьмем интеграл:

Площадь = [x^2 - (2/3)x^3] от x = -1 до x = 2

Площадь = [(2)^2 - (2/3)(2)^3] - [(-1)^2 - (2/3)(-1)^3]

Площадь = [4 - (2/3)8] - [1 - (2/3)(-1)]

Площадь = 4 - 16/3 - 1 + 2/3

Площадь = 3 - 14/3

Площадь = (9 - 14)/3

Площадь = -5/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми y=x^2-2x и y=4-x^2, составляет -5/3 квадратных единиц.

Теперь построим график этих функций и выделим область, ограниченную ними:

pythonCopy code
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Создаем массив значений x от -2 до 3
x = np.linspace(-2, 3, 100)

# Вычисляем значения функций y
y1 = x**2 - 2*x
y2 = 4 - x**2

# Строим график
plt.plot(x, y1, label='y = x^2 - 2x')
plt.plot(x, y2, label='y = 4 - x^2')

# Заполняем область между кривыми
plt.fill_between(x, y1, y2, where=(y1 < y2), color='gray', alpha=0.5)

# Добавляем легенду
plt.legend()

# Добавляем подписи осей
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')

# Отображаем сетку
plt.grid(True)

# Отображаем график
plt.show()

На графике вы увидите две кривые, а также заштрихованную область между ними, которая представляет собой фигуру, площадь которой мы рассчитали.