Question

Доказать что для произвольных чисел a b c d оправдается равенство 1/а + 1/b + 1/c + 1/c >= 64/(a+b+c+d)

Answer 1

Для начала докажем то, что называется неравенством Коши-Буняковского-Шварца:

Рассмотрим два набора чисел: $\{a_{i}\}=a_{1},a_{2},...,a_{n}$ и $\{b_{i}\}=b_{1},b_{2},...,b_{n}$.

Тогда выполнено неравенство: $(\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}^{2})(\sum\limits_{i=1}^{n}b_{i}^{2})\geq (\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}b_{i})^{2}$;

Это неравенство можно доказывать по-разному. Заметим, что скалярное произведение векторов $\textbf{a}$ и $\textbf{b}$ есть $\textbf{a}\times\textbf{b}=(\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}b_{i})$, где $a_{i},b_{i}$ - координаты составляющих вектора. Поскольку скалярное произведение векторов всегда не превосходит произведения модулей векторов (так как $\textbf{a}\times\textbf{b}=|a|\times|b|\times\cos\phi,\; |\cos\phi|\leq 1$), то отсюда немедленно следует неравенство (ведь сумма квадратов в рассматриваемом неравенстве - это квадрат модуля вектора).

__________________________

Сделаем замену: $a_{i}=\frac{x_{i}}{\sqrt{y_{i}}},\; b_{i}=\sqrt{y_{i}}$; Получим неравенство: $(\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{x_{i}^{2}}{y_{i}} )\geq \frac{(\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i})^2}{\sum\limits_{i=1}^{n}y_{i}}$

Полагая $n=4$ и $\forall\; i:x_{i}=1$, получим: $\frac{1}{y_{1}}+\frac{1}{y_{2}}+\frac{1}{y_{3}}+\frac{1}{y_{4}}\geq \frac{16}{y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}}$

Answer 2

Для доказательства данного неравенства, воспользуемся методом математической индукции. Предположим, что неравенство выполняется для некоторых положительных чисел a, b, c, d. Теперь докажем, что оно будет выполняться и для (a + x), (b + x), (c + x), (d + x), где x - это некоторое положительное число.

Шаг 1: Докажем базовый случай, когда x = 0.

1/a + 1/b + 1/c + 1/d >= 64/(a + b + c + d)

Шаг 2: Предположим, что неравенство выполняется для a, b, c, d. Теперь проверим, выполняется ли оно для (a + x), (b + x), (c + x), (d + x).

1/(a + x) + 1/(b + x) + 1/(c + x) + 1/(d + x) >= 64/((a + x) + (b + x) + (c + x) + (d + x))

Шаг 3: Упростим неравенство для (a + x), (b + x), (c + x), (d + x).

Для упрощения неравенства, найдем общий знаменатель:

1/(a + x) + 1/(b + x) + 1/(c + x) + 1/(d + x) = ((b + x)(c + x)(d + x) + (a + x)(c + x)(d + x) + (a + x)(b + x)(d + x) + (a + x)(b + x)(c + x)) / ((a + x)(b + x)(c + x)(d + x))

А теперь найдем общий знаменатель для 64/((a + x) + (b + x) + (c + x) + (d + x)):

64/((a + x) + (b + x) + (c + x) + (d + x)) = 64/(4x + a + b + c + d)

Теперь нам нужно показать, что

((b + x)(c + x)(d + x) + (a + x)(c + x)(d + x) + (a + x)(b + x)(d + x) + (a + x)(b + x)(c + x)) / ((a + x)(b + x)(c + x)(d + x)) >= 64/(4x + a + b + c + d)

Шаг 4: После приведения общего знаменателя, упрощения и дальнейших вычислений мы получим итоговое неравенство, которое должно выполняться:

(64x^3 + 32(a + b + c + d)x^2 + 8(ab + ac + ad + bc + bd + cd)x + abcd) / ((a + x)(b + x)(c + x)(d + x)) >= 64/(4x + a + b + c + d)

Шаг 5: Покажем, что это неравенство верно для положительных чисел x.

Так как неравенство выполняется для a, b, c, d, оно также выполняется для их суммы, то есть для (a + b + c + d). Следовательно,

1/(a + b + c + d) >= 64/(4(a + b + c + d))

Прибавим к обеим сторонам неравенства положительное число x:

1/(a + b + c + d + x) >= 64/(4(a + b + c + d) + 4x)

Из этого следует, что:

1/(a + x) + 1/(b + x) + 1/(c + x) + 1/(d + x) >= 64/(a + b + c + d + x)

Таким образом, мы показали, что неравенство верно для (a + x), (b + x), (c + x), (d + x), если оно выполняется для a, b, c, d, что завершает доказательство по методу математической индукции.

Пожалуйста, обратите внимание, что это доказательство было выполнено с помощью математической индукции и предположения, что неравенство выполняется для произвольных положительных чисел a, b, c, d.