Question

Компьютерная программа случайным образом отбирает двузначные числа. Если выбранное компьютером число умножить на произведение его цифр, то получится 255. Какое число отобрала программа?

Answer 1

Пусть $\overline{xy}=10x+y$ - случайное двузначное число, которое отбирает компьютер. Согласно условию: $(10x+y)xy=255$

Делители числа 255: 1; 3; 5; 15; 17; 51; 85; 255.

Решаем последнее уравнение в натуральных числах

$\begin{cases} & \text{ } 10x+y=255 \\ & \text{ } xy=1\end{cases}~~\Rightarrow~~ \varnothing$                       $\begin{cases} & \text{ } 10x+y=5 \\ & \text{ } xy=51\end{cases}~~\Rightarrow~~ \varnothing$

$\begin{cases} & \text{ } 10x+y=3 \\ & \text{ } xy=85\end{cases}~~\Rightarrow~~ \varnothing$                           $\begin{cases} & \text{ } 10x+y=15 \\ & \text{ } xy=17\end{cases}~~\Rightarrow~~ \varnothing$

$\begin{cases} & \text{ } 10x+y=17 \\ & \text{ } xy=15\end{cases}~~\Rightarrow~~ \varnothing$                         $\begin{cases} & \text{ } 10x+y=51 \\ & \text{ } xy=5\end{cases}~~\Rightarrow~~ \begin{cases} & \text{ } x=5 \\ & \text{ } y=1 \end{cases}$

$\begin{cases} & \text{ } 10x+y=85 \\ & \text{ } xy=3\end{cases}~~~\Rightarrow~~~\begin{cases} & \text{ } x=\dfrac{85\pm7\sqrt{145}}{20} \\ & \text{ } y=\dfrac{85\pm7\sqrt{145}}{2} \end{cases}$

$\begin{cases} & \text{ } 10x+y=255 \\ & \text{ } xy=1\end{cases}~~~\Rightarrow~~~\varnothing$

Ответ: программа отобрала число 51.

Answer 2

Пусть число, отобранное компьютерной программой, представляется как AB, где A - старшая цифра, B - младшая цифра.

Мы знаем, что AB умноженное на произведение его цифр равно 255:

AB * A * B = 255

Теперь, поскольку A и B - это цифры, которые представляют числа от 0 до 9, возможны следующие варианты:

1. A = 1, B = 255 / (1 * 1) = 255
2. A = 3, B = 255 / (3 * 5) = 17
3. A = 5, B = 255 / (5 * 5) = 51
4. A = 15, B = 255 / (15 * 5) = 3
5. A = 17, B = 255 / (17 * 1) = 15
6. A = 51, B = 255 / (51 * 1) = 5

Из этих вариантов видим, что число должно быть двузначным, поэтому отбрасываем варианты с A > 9.

Таким образом, программа могла отобрать число 17, потому что (17 * 1 * 7) равно 119, что равно 255.