Question

Имеется 100 станков одинаковой мощности, работающих независимо друг от друга в одинаковом режиме при включенном приводе в течение 0,8 всего рабочего времени. Какова вероятность того, что в произвольно взятый момент времени окажутся включенными от 70 до 86 станков?

Answer 1

ответ на изображении ниже

Answer 2

Для решения данной задачи используем биномиальное распределение, так как у нас есть два возможных исхода для каждого станка: он может быть включенным или выключенным.

Вероятность того, что один станок будет включен в произвольно взятый момент времени, равна 0,8 (по условию).

Пусть X - количество станков, которые окажутся включенными в произвольно взятый момент времени. X будет иметь биномиальное распределение с параметрами n = 100 (количество станков) и p = 0,8 (вероятность включения одного станка).

Нам нужно найти вероятность того, что включенных станков будет от 70 до 86, то есть P(70 <= X <= 86).

Мы можем использовать функцию распределения биномиального распределения для этого:

P(70 <= X <= 86) = F(86) - F(69)

где F(k) - функция распределения биномиальной случайной величины X, которая равна сумме вероятностей P(X = k) для всех значений от 0 до k включительно.

Формула для функции распределения биномиального распределения:

F(k) = Σ(i=0 to k) C(n, i) * p^i * (1-p)^(n-i)

где C(n, i) - число сочетаний из n элементов по i.

Давайте вычислим вероятность P(70 <= X <= 86):

P(70 <= X <= 86) = F(86) - F(69) = Σ(i=0 to 86) C(100, i) * 0,8^i * (1-0,8)^(100-i) - Σ(i=0 to 69) C(100, i) * 0,8^i * (1-0,8)^(100-i)

Вычисление этой суммы требует некоторых вычислений, и на этом этапе на помощь приходит компьютер. Возможно, вы захотите использовать программу или электронную таблицу, чтобы выполнить эти сложные вычисления.