Question

F(x)=2+3x^2-x^3; [-1;1] Знайдiть найбiльше та найменше значення функцii y=f(x) на заданому промiжку.

Answer 1

Ответ:

Ответ:

1.найдем значение функции на левом  конце промежутка f(-1)=6

2. найдем значение функции на правом  конце промежутка f(1)=4

3. найдем производную функции, она равна 6х-3х^2

4. Решим уравнение 6х-3х^2=0

5. корнями являются числа 0 и 2

6. проверить принадлежность корней указанному промежутку. Таким числом является 0

7. f(0)=2

наибольшее 6,наименьшее 2

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для знаходження найбільшого та найменшого значення функції $y = f(x)$ на заданому проміжку $[-1, 1]$, спочатку знайдемо перші та другі похідні функції, щоб визначити, де функція може мати екстремуми (мінімуми або максимуми).

Даний поліном має такий вигляд: $f(x) = 2 + 3x^2 - x^3$

Знайдемо похідні функції $f'(x)$ та $f''(x)$:

Перша похідна: $f'(x) = 2 \cdot 3x^{2-1} - 3 \cdot 1x^{3-1} = 6x - 3x^2$

Друга похідна: $f''(x) = 6 - 6x$

Тепер знайдемо точки, де перша похідна дорівнює нулю, щоб знайти можливі мінімуми та максимуми функції:

$6x - 3x^2 = 0$

Винесемо спільний множник $3x$:

$3x(2 - x) = 0$

Таким чином, можливі значення $x$ для мінімумів та максимумів - це $x = 0$ та $x = 2$.

Тепер перевіримо другу похідну в цих точках, щоб визначити, чи ці точки є локальними мінімумами або максимумами.

Підставимо $x = 0$ в другу похідну: $f''(0) = 6 - 6 \cdot 0 = 6$

Підставимо $x = 2$ в другу похідну: $f''(2) = 6 - 6 \cdot 2 = -6$

Якщо $f''(x) > 0$ в точці, то це означає, що функція має локальний мінімум в цій точці. Якщо $f''(x) < 0$, то вона має локальний максимум.

Знаходимо значення функції в точках $x = 0$ та $x = 2$:

$f(0) = 2 + 3 \cdot 0^2 - 0^3 = 2$

$f(2) = 2 + 3 \cdot 2^2 - 2^3 = 2 + 3 \cdot 4 - 8 = 2 + 12 - 8 = 6$

Таким чином, функція має локальний мінімум при $x = 0$ зі значенням $f(0) = 2$ та локальний максимум при $x = 2$ зі значенням $f(2) = 6$.

Тепер перевіримо значення функції на краях проміжку $[-1, 1]$, тобто при $x = -1$ та $x = 1$:

$f(-1) = 2 + 3 \cdot (-1)^2 - (-1)^3 = 2 + 3 - (-1) = 2 + 3 + 1 = 6$

$f(1) = 2 + 3 \cdot 1^2 - 1^3 = 2 + 3 - 1 = 4$

Таким чином, найбільше значення функції $f(x)$ на проміжку $[-1, 1]$ - це 6 (досягається при $x = -1$), а найменше значення - це 2 (досягається при $x = 0$).