Question

ЕГЭ ПРОФИЛЬ 15.Решите неравенство 4^(2x+1,5)-9^(x+0,5)=2*12^x

Answer 1

Ответ: -1

Пошаговое объяснение:

4^(2x+1,5)=4^2x*4^1,5=16^x*2^3=16^x *8

9^(x+0,5)=9^x * 3, тогда уравнение примет вид:

8*16^x-3*9^x-2*12^x=0,  |: 12^x,

8*(4/3)^x-3*(3/4)^x-2=0,  t=(4/3)^x,  t>0

8t-3/t-2=0 |*t,  8t^2-2t-3=0,  D=4+96=100,

t1=(2+10)/16=12/16=3/4,  t2=-8/16=-1/2,  не подходит

обратная замена  (4/3)^x=3/4,  (4/3)^x=(4/3)^( -1),  x=-1

Answer 2

Для решения данного неравенства, мы будем использовать свойства степеней и логарифмов.

Итак, дано неравенство: $4^{2x+1.5} - 9^{x+0.5} = 2 \cdot 12^x$

Для начала, заметим, что $4 = 2^2$ и $9 = 3^2$, так что можем переписать уравнение в более удобной форме:

$(2^2)^{2x+1.5} - (3^2)^{x+0.5} = 2 \cdot 12^x$

Теперь воспользуемся свойствами степеней: $2^{4x+3} - 3^{2x+1} = 2 \cdot (2^2 \cdot 3)^x$

Преобразуем дальше: $2^{4x+3} - 3^{2x+1} = 2 \cdot (6)^x$

Далее, заменим $2^{4x+3}$ и $3^{2x+1}$ величиной $y$: $y - y^2 = 2 \cdot 6^x$

Теперь получили квадратное уравнение. Приведем его к стандартному виду: $y^2 - y + 2 \cdot 6^x = 0$

Теперь решим квадратное уравнение относительно $y$. Для этого воспользуемся дискриминантом:

$D = b^2 - 4ac$ $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 6^x$ $D = 1 - 8 \cdot 6^x$

Теперь найдем корни уравнения:

$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ $y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 6^x}}{2}$

Так как $y = 4^{2x+1.5} - 9^{x+0.5}$, то $y$ должно быть положительным (так как в противном случае неравенство не будет иметь решения). Следовательно, выбираем только положительный корень:

$y = \frac{1 + \sqrt{1 - 8 \cdot 6^x}}{2}$

Теперь решим уравнение относительно $x$:

$\frac{1 + \sqrt{1 - 8 \cdot 6^x}}{2} = 2 \cdot 6^x$

Уберем знаменатель, перенесем одно слагаемое влево и квадрат из-под корня:

$1 + \sqrt{1 - 8 \cdot 6^x} = 4 \cdot 6^x$ $\sqrt{1 - 8 \cdot 6^x} = 4 \cdot 6^x - 1$

Теперь избавимся от корня, возводя обе части уравнения в квадрат:

$1 - 8 \cdot 6^x = (4 \cdot 6^x - 1)^2$ $1 - 8 \cdot 6^x = 16 \cdot 6^{2x} - 8 \cdot 6^x + 1$

Теперь приведем подобные члены:

$0 = 16 \cdot 6^{2x} - 8 \cdot 6^x$