Question

Обчисліть: a)sin11°×cos19°+cos11°×sin19° б)cos^15°-sin^15°

Answer 1

$sin11cos19+cos11sin19=sin30=\frac{1}{2}\\cos^215-sin^215=cos30=\frac{\sqrt3}{2}$

Answer 2

a) Давайте спростимо спочатку вираз:

sin(11°) × cos(19°) + cos(11°) × sin(19°)

Ми можемо використовувати тригонометричну ідентичність:

sin(α) × cos(β) + cos(α) × sin(β) = sin(α + β)

Тому отримаємо:

sin(11° + 19°) = sin(30°) = 0.5

b) Тут ми маємо:

cos^15° - sin^15°

Ми можемо використовувати тригонометричну ідентичність:

sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1

З цього випливає:

sin^2(θ) = 1 - cos^2(θ)

Піднесемо обидва боки рівняння до 7 степеня:

(sin^2(θ))^7 = (1 - cos^2(θ))^7

Тепер підставимо вираз для sin^2(θ):

(sin^2(θ))^7 = (1 - cos^2(θ))^7 (sin^2(θ))^7 = 1^7 - 7 * 1^6 * cos^2(θ) + 21 * 1^5 * cos^4(θ) - 35 * 1^4 * cos^6(θ) + 35 * 1^3 * cos^8(θ) - 21 * 1^2 * cos^10(θ) + 7 * 1 * cos^12(θ) - cos^14(θ)

Спростимо це:

(sin^2(θ))^7 = 1 - 7cos^2(θ) + 21cos^4(θ) - 35cos^6(θ) + 35cos^8(θ) - 21cos^10(θ) + 7cos^12(θ) - cos^14(θ)

Тепер ми можемо замінити sin^2(θ) на 1 - cos^2(θ):

(1 - cos^2(θ))^7 = 1 - 7cos^2(θ) + 21cos^4(θ) - 35cos^6(θ) + 35cos^8(θ) - 21cos^10(θ) + 7cos^12(θ) - cos^14(θ)

Це є рівняння відносно cos^θ. Тому ми можемо обчислити значення cos^15°, підставити його в вираз та виконати обчислення.

Зазвичай для таких обчислень використовують тригонометричні таблиці або калькулятори з функцією обчислення тригонометричних значень.