Question

Посчитайте производную f(x)=x^x в точке x0 = e

Answer 1

Дана функция:

$f(x) = {x}^{x} , \: x_{0} = e$

Находим производную функции:

$f'(x) = ( {x}^{x} )' = ({e}^{ ln( {x}^{x} ) } )' = ( {e}^{ xln(x) } )' = \\ = {e}^{x ln(x) } (x ln(x)) ' = {x}^{x} ((x)' ln(x) + x( ln(x) )') = \\ = {x}^{x} ( ln(x) + 1) \\ f'(x_{0}) = {e}^{e} ( ln(e) + 1) = 2 {e}^{e}$

Answer 2

Чтобы найти производную функции f(x) = x^x в точке x0 = e, воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепного правила).

Для функции f(x) = x^x используем представление в виде экспоненциальной функции: f(x) = e^(x * ln(x)).

Теперь дифференцируем эту функцию по x:

f'(x) = d/dx (e^(x * ln(x))).

Для применения цепного правила в данном случае, рассмотрим внутреннюю функцию u(x) = x * ln(x) и внешнюю функцию v(u) = e^u.

Теперь вычислим производные вспомогательных функций:

1. Найдем производную u(x) = x * ln(x):

d/dx (x * ln(x)) = x * (1/x) + ln(x) = 1 + ln(x).

2. Найдем производную v(u) = e^u:

d/du (e^u) = e^u.

Теперь, используя цепное правило, вычислим производную f'(x) = d/dx (e^(x * ln(x))):

f'(x) = d/dx (e^(u(x))) = d/du (e^u) * d/dx (u(x)) = e^(u(x)) * (1 + ln(x)).

Подставим x = e, так как исходно было дано, что x0 = e:

f'(e) = e^(e * ln(e)) * (1 + ln(e)).

Заметим, что e * ln(e) = e * 1 = e, и что ln(e) = 1, поскольку e^1 = e. Поэтому упростим выражение:

f'(e) = e^e * (1 + 1) = e^e * 2.

Таким образом, производная функции f(x) = x^x в точке x0 = e равна 2 * e^e.