Question

При каком наименьшем натуральном n число n! делится на 10^6 ?

Answer 1

Ответ:

25

Пошаговое объяснение:

так как 10=2*5,

n!=1*2*3*4*5*6*...*n

первые числа кратные 5 (нам нужно чтобы среди них было 6 пятерок в разложении на множители) это 5 (одна пятерка);10 (одна пятерка);15 (одна пятерка);20(одна пятерка); 25 (две пятерки)

до 25 полно чисел которые в разложении насобирают 6 двоек , например 2,4,6,8,10

Answer 2

Для того чтобы найти наименьшее натуральное число $n$, при котором $n!$ делится на $10^6$, нужно разложить $10^6$ на простые множители. Число $10^6$ равно $2^6 \cdot 5^6$.

Это означает, что минимальное значение $n$ должно содержать достаточное количество множителей 2 и 5, чтобы обеспечить наличие необходимого количества множителей 2 и 5 в $n!$.

Количество множителей 2 в $n!$ можно найти с помощью формулы Лежандра:

$\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{2^2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{2^3} \right\rfloor + \ldots$

Количество множителей 5 в $n!$ можно найти аналогично, используя формулу:

$\left\lfloor \frac{n}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{5^2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{5^3} \right\rfloor + \ldots$

Теперь мы знаем, что количество множителей 2 и 5 в $n!$ должно быть не менее 6 (потому что есть $2^6$ и $5^6$ в $10^6$).

Рассмотрим сначала количество множителей 5. Подберем $n$ так, чтобы количество множителей 5 было больше или равно 6:

$\left\lfloor \frac{n}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{5^2} \right\rfloor \geq 6$

Пробуем $n = 25$:

$\left\lfloor \frac{25}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{25}{5^2} \right\rfloor = 5 + 1 = 6$

Теперь проверим, что количество множителей 2 также будет не менее 6 при $n = 25$:

$\left\lfloor \frac{25}{2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{25}{2^2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{25}{2^3} \right\rfloor + \ldots = 12 + 6 + 3 + 1 = 22$

Итак, минимальное натуральное $n$, при котором $n!$ делится на $10^6$, равно 25.