Question

Найти все решения уравнения sin (x - π/3)=0,5 , удовлетворяющих неравенству x²- 4π²< 0 Желательно все подробно расписать.

Answer 1

sin(-п/3+x)=0,5

-п/3+x=п/6+2Пn или -п/3+x=-5п/6+Пn

x=п/6+п/3+2Пn           x=п/3-5п/6+Пn

x=п/2+2Пn                   x=-п/2+Пn

ОДЗ:

x^2<4п^2

x<2п или x>-2п

то есть x принадлежит отрезку (-2п;2п)

Все решения соответствуют ОДЗ, значит Ответ: x=+-п/2+2Пn

                                                                                     

Answer 2

Для начала, найдем все решения уравнения sin(x - π/3) = 0.5.

Известно, что sin(π/6) = 0.5. Заметим, что уравнение sin(x - π/3) = 0.5 можно переписать в виде sin(π/6) = 0.5, если заменим x на (x - π/3). То есть, у нас получается:

sin(x - π/3) = sin(π/6)

Теперь воспользуемся тригонометрической формулой:

sin(a) = sin(b) ⇔ a = b + 2πk или a = π - b + 2πk,

где k - целое число.

В нашем случае, a = x - π/3, b = π/6.

Подставим значения:

x - π/3 = π/6 + 2πk или x - π/3 = π - π/6 + 2πk,

Теперь решим каждое уравнение отдельно:

1. x - π/3 = π/6 + 2πk

Для этого добавим π/3 к обеим сторонам уравнения:

x = π/6 + π/3 + 2πk

x = π/6 + 2π/6 + 2πk

x = π/2 + 2πk

2. x - π/3 = π - π/6 + 2πk

Для этого добавим π/3 к обеим сторонам уравнения:

x = π - π/6 + π/3 + 2πk

x = π - π/6 + 2π/6 + 2πk

x = 5π/6 + 2πk

Теперь, чтобы найти все решения уравнения, объединим результаты:

x = π/2 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk

Теперь найдем все решения, которые удовлетворяют неравенству x² - 4π² < 0:

x² - 4π² < 0

(x + 2π)(x - 2π) < 0

Чтобы решить это неравенство, рассмотрим каждый множитель отдельно:

1. x + 2π < 0

x < -2π

2. x - 2π < 0

x < 2π

Теперь объединим полученные результаты:

-2π < x < 2π

Итак, все решения уравнения sin(x - π/3) = 0.5, которые удовлетворяют неравенству x² - 4π² < 0, представлены как:

-2π < x < 2π, где x = π/2 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk, а k - целое число.