Question

Вычислите площадь фигуры ограниченной графиком функции у=х+1 и у=(х+1)^3​ срочно спасите от двойки

Answer 1

Ответ: S=0,5.

Пошаговое объяснение:

y=y+1      y=(x+1)³         S=?

x+1=(x+1)³

(x+1)³-(x+1)=0

(x+1)*((x+1)²-1)=0

(x+1)*(x+1+1)*(x+1-1)=0

(x+1)*(x+2)*x=0

x₁=-2    x₂=-1    x₃=0

S=S₁+S₂

S₁=₋₂∫⁻¹((x+1)³-(x+1))dx=₋₂∫⁻¹(x+3)³dx-₋₂∫⁻¹(x+1)dx

S₂=₋₁∫⁰((x+1)-(x+3)³)dx=₋₁∫⁰(x+1)dx-₋₁∫⁰(x+1)³dx

∫(x+1)³dx

Пусть x+1=u      ⇒      d(x+1)=dx=du   ⇒     ∫(x+1)³dx=∫u³du=u⁴/4=(x+1)⁴/4.

∫(x+1)dx

Пусть x+1=u     ⇒     d(x+1)=dx=du    ⇒    ∫(x+1)dx=∫udu=u²/2.

S₁=(x+1)⁴/4-(x+1)²/2  -₂|⁻¹=(-1+1)⁴/4-(-1+1)²/2-((-2+1)⁴/4-(-2+1)²/2))=

=0⁴/4-0²/2-((-1)⁴/4-(-1)²/2)=0-(1/4-1/2)=-(-1/4)=1/4=0,25.

S₂=(x+1)²/2-(x+1)⁴/4)  ₋₁|⁰=(0+1)²/2-(0+1)²/2-((-1+1)²/2-(-1+1)⁴/4))=

=(1/2-(1/4)-(0²/2-0⁴/4)=(1/4)-0=1/4=0,25.

S=S₁+S₂=0,25+0,25=0,5.

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиками функций у=х+1 и у=(х+1)^3, нужно найти точки их пересечения и затем найти интеграл разности этих функций на соответствующем интервале.

Первым шагом найдем точки пересечения функций у=х+1 и у=(х+1)^3:

Установим равенство: х + 1 = (х + 1)^3

Решим уравнение: (х + 1)^3 - (х + 1) = 0

Теперь найдем точки пересечения:

(х + 1)(х^2 + 2х + 1 - 1) = 0 (х + 1)(х^2 + 2х) = 0

Таким образом, получаем две точки пересечения: х = -1 (для обеих функций).

Теперь найдем интеграл разности функций у=х+1 и у=(х+1)^3 на интервале [-1, a], где "а" - это точка пересечения с графиком функции у=(х+1)^3.

Интеграл площади фигуры будет равен:

Площадь = ∫[-1, a] (х+1) - (х+1)^3 dх

Подставим точку пересечения "а" и вычислим интеграл:

Площадь = ∫[-1, a] (х+1) - (х+1)^3 dх Площадь = ∫[-1, a] (х+1) - (х^3 + 3х^2 + 3х + 1) dх Площадь = ∫[-1, a] -х^3 - 3х^2 - 2х dх

Теперь вычислим интеграл:

Площадь = [(-х^4)/4 - (3х^3)/3 - (2х^2)/2] [-1, a] Площадь = [(-а^4)/4 - (3а^3)/3 - (2а^2)/2] - [(-(-1)^4)/4 - (3(-1)^3)/3 - (2(-1)^2)/2]

Площадь = [(-а^4)/4 - а^3 - а^2] - [1/4 + 3 + 1/2] Площадь = -а^4/4 - а^3 - а^2 - 5/4

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиками функций у=х+1 и у=(х+1)^3 на интервале [-1, a], равна -а^4/4 - а^3 - а^2 - 5/4.

Если необходимо вычислить площадь на другом интервале, нужно найти другую точку пересечения и повторить вычисления для нового интервала.