Question

Докажите, что выражение (m+5)-m^2 делится на 5 при любых натуральных значениях m.

Answer 1

Відповідь:

(m+5)^2-m^2 = (m+5-m)*(m+5+m) = 5*(2m+5)

5(2m+5)/5 = 2m+5

значит, выражение делится на 5 при любых m

Покрокове пояснення:

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, нужно показать, что выражение (m + 5) - m^2 делится на 5 для любых натуральных значений m, то есть существует целое число k, для которого (m + 5) - m^2 = 5k.

Давайте докажем это по индукции.

Базовый случай: m = 1. Подставим m = 1 в выражение: (1 + 5) - 1^2 = 6 - 1 = 5. Мы видим, что при m = 1, выражение равно 5, что делится на 5 без остатка (k = 1), таким образом, базовый случай верен.

Шаг индукции: Предположим, что утверждение верно для некоторого значения m = k, т.е., (k + 5) - k^2 = 5k.

Теперь рассмотрим случай m = k + 1: (m + 1 + 5) - (m + 1)^2 = (k + 1 + 5) - (k + 1)^2 = (k + 6) - (k^2 + 2k + 1) = k + 6 - k^2 - 2k - 1 = 5 + (k - k^2 - 2k) = 5 + k(1 - k - 2) = 5 - k(k + 1).

Мы знаем, что утверждение верно для m = k (по предположению индукции), и утверждение выше равно 5 - k(k + 1). Заметим, что k(k + 1) является произведением двух последовательных целых чисел и, следовательно, всегда делится на 2. Таким образом, можно представить k(k + 1) в виде 2x, где x - целое число. Тогда выражение 5 - k(k + 1) примет вид 5 - 2x = 5 - 2 * (целое число) = 5 - (какое-то четное число) = (нечетное число).

Мы видим, что полученное выражение всегда является нечетным числом. Для того чтобы оно было делится на 5, нам нужно добавить к нему 5. Таким образом, получим выражение равное 5, что делится на 5 без остатка (k = 1).

Таким образом, по индукции, утверждение верно для любых натуральных значений m.