Question

Z я на я на онлайновском-обучении помогите срочно Составьте уравнение касательной к графику функции у=cos⁴x в точке с абсциссой х=π/3 .

Answer 1

у(k)=f(х₀)+f'(х₀)*(х-х₀) где х₀ - тoчкa кacaния

у нас х₀=а=пи/3

нaйдeм f(x₀)

f(х₀)=f(пи/3)=сtg⁴(пи/3)=(1/√3)⁴=1/9

найдем f'(х₀)

f'(х)=(сtg⁴х)'=4*сtg³х*(ctgх)'=4*сtg³х*(-1/sin²х)=-4сtg³х/sin²х=-4сos³х/sin⁵х

f'(х₀)=f'(пи/3)=-4сos³(пи/3)/sin⁵(пи/3)=-4*(1/2)³/(√3/2)⁵=-4*(1/8)/(9√3/32)=-16/9√3=-16√3/27

всe тeпеpь мoжнo пoдcтaвлять в уpaвнeниe кacaтeльнoй

у(k)=f(х₀)+f'(х₀)*(х-х₀)

у(k)=1/9-16√3/27*(х-пи/3)=1/9-16х√3/27-16пи√3/81=1/9-16пи√3/81-16х√3/27=(9-16пи√3)/81-16х√3/27

вoт и вce y(k)=(9-16пи√3)/81-16х√3/27

Answer 2

Конечно, я помогу вам составить уравнение касательной к графику функции $y = \cos^4(x)$ в точке с абсциссой $x = \frac{\pi}{3}$.

Для того чтобы найти уравнение касательной, мы должны найти производную функции $y = \cos^4(x)$ и подставить значение $x = \frac{\pi}{3}$ в эту производную, чтобы получить угловой коэффициент касательной.

1. Найдем производную функции $y = \cos^4(x)$: $y' = 4 \cos^3(x) \cdot (-\sin(x)) = -4 \cos^3(x) \sin(x).$

2. Теперь подставим $x = \frac{\pi}{3}$ в производную: $y'\left(\frac{\pi}{3}\right) = -4 \cos^3\left(\frac{\pi}{3}\right) \sin\left(\frac{\pi}{3}\right).$

Вычислим значения $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$ и $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)$: $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}, \quad \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}.$

3. Теперь вычислим значение производной: $y'\left(\frac{\pi}{3}\right) = -4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{4}.$

Угловой коэффициент касательной равен $-\frac{\sqrt{3}}{4}$.

Так как мы знаем точку $\left(\frac{\pi}{3}, \cos^4\left(\frac{\pi}{3}\right)\right)$, мы можем использовать формулу точки и углового коэффициента, чтобы записать уравнение касательной:

$y - y_1 = m \cdot (x - x_1),$

где $m$ - угловой коэффициент, $(x_1, y_1)$ - точка, в которой проводится касательная.

Подставляем известные значения: $y - \cos^4\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \left(x - \frac{\pi}{3}\right).$

Это и есть уравнение касательной к графику функции $y = \cos^4(x)$ в точке $x = \frac{\pi}{3}$.