Question

Периметр прямоугольного участка 24 метра.Найти максимальную площадь и размеры участка при максимальной площади

Answer 1

Ответ:

Длина 6м, ширина 6м.

Площадь: 36м²

Пошаговое объяснение:

Пусть x - длина прямоугольного участка, y - ширина, тогда:

(x + y)*2 = 24

x + y = 12

y = 12 - x

Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину, в данном случае S = x*y = x*(12 - x) = 12x - x².

Найдем максимум функции на интервале x ∈ (0; 12)

1) Находим производную: S'(x) = (12x - x²)' = 12 - 2x

2) Приравниваем производную к нулю и находим критические точки:

12 - 2x = 0

2x = 12

x = 6 (м)

3) Проверим точку x = 6 на экстремальность: производная при переходе через эту точку должна менять свой знак.

S'(5) = 12 - 2*5 = 12 - 10 = 2

S'(7) = 12 - 2*7 = 12 - 14 = -2

Как видно знак + меняется на - при переходе через точку 6, значит x = 6 - экстремум, а именно - максимум.

Вывод: длина x = 6(м), ширина y = 12 - x = 6(м). Площадь S = 6*6 = 26 (м²).

Максимальная площадь участка достигается, если при данных условиях он имеет форму квадрата.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать метод дифференциального исчисления. Для начала, давайте обозначим стороны прямоугольного участка как x и y (x - длина, y - ширина).

Периметр прямоугольника равен 2x + 2y, и по условию он равен 24 метрам, так что у нас есть уравнение:

2x + 2y = 24

Для нахождения максимальной площади прямоугольника, мы должны максимизировать функцию площади, которая вычисляется как S = x * y.

Мы можем решить уравнение на периметр и выразить одну переменную через другую:

2x + 2y = 24 2x = 24 - 2y x = 12 - y

Теперь мы можем записать функцию площади через одну переменную:

S = x * y = (12 - y) * y = 12y - y^2

Для нахождения максимальной площади, мы можем взять производную этой функции по y и приравнять ее к нулю:

dS/dy = 12 - 2y = 0

Решаем это уравнение относительно y:

2y = 12 y = 6

Теперь мы можем найти соответствующее значение x, используя уравнение x = 12 - y:

x = 12 - 6 x = 6

Таким образом, максимальная площадь прямоугольного участка равна 6 метров в длину и 6 метров в ширину.