Question

Нужно срочно решить примеры 1)sin2x+5(sin+cosx+1)=0 2)Sin2x+3=3sinx+3cosx

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

$\sin 2x+5(\sin x+\cos x+1)=0$

Здесь нужно увидеть достаточно интересную замену.

Пусть:

$></p> <p>Напишем ОДЗ для буквы t:</p> <p><img src=$

Значит $t\in[-\sqrt{2};\; \sqrt{2}]$

Теперь возведем обе части в квадрат и получим:

$t^2=1+\sin 2x\\\sin 2x=t^2-1$

Продолжим решение:

$t^2+5t+4=0\\t^2+t+4t+4=0\\t(t+1)+4(t+1)=0\\(t+1)(t+4)\\t=-1\\t=-4$

Корень -4 не подходит по ОДЗ.

Тогда выполним обратную замену:

$\sin x+\cos x = -1\\\sin(x+\dfrac{\pi}{4})=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

(см. выше почему сразу такой переход)

$x=\dfrac{3\pi}{2}+2n\pi,\; n\in Z\\x=2+2n\pi,\; n\in Z$

Уравнение решено.

Второе решается аналогично! Пишу краткое решение:

$\sin 2x+3=3(\sin x+\cos x)\\t^2-3t+2=0,\; t\in[-\sqrt{2}\; \sqrt{2}]\\t=1\\t=2\\\sin x+\cos x=1\\\sin(x+\dfrac{\pi}{4})=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\x=2n\pi,\; n\in Z\\x=\dfrac{\pi}{2}+2n\pi,\; n\in Z$

Уравнение решено.

Answer 2

Давайте рассмотрим каждый пример по отдельности и найдем решения:

1. sin(2x) + 5(sin(x) + cos(x) + 1) = 0

Сначала раскроем скобки:

sin(2x) + 5sin(x) + 5cos(x) + 5 = 0

Теперь объединим тригонометрические функции:

sin(2x) + 5sin(x) + 5cos(x) = -5

Для решения данного уравнения нет аналитического способа выразить x через элементарные функции. Однако можно воспользоваться численными методами или графическими методами для приближенного определения решений.

2. Sin(2x) + 3 = 3sin(x) + 3cos(x)

Раскроем скобки:

sin(2x) + 3 = 3(sin(x) + cos(x))

Теперь воспользуемся тригонометрической идентичностью для sin(2x):

2sin(x)cos(x) + 3 = 3(sin(x) + cos(x))

Теперь выразим, например, sin(x) через cos(x) с использованием тождества sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

2cos(x)√(1 - cos^2(x)) + 3 = 3(sin(x) + cos(x))

2cos(x)√(1 - cos^2(x)) = 3 - 3cos(x) - 3sin(x)

Теперь возводим обе стороны уравнения в квадрат для избавления от квадратного корня:

4cos^2(x)(1 - cos^2(x)) = 9 - 18cos(x)sin(x) + 9cos^2(x)

4cos^2(x) - 4cos^4(x) = 9 - 18cos(x)sin(x) + 9cos^2(x)

-4cos^4(x) + 4cos^2(x) + 18cos(x)sin(x) = 9

Переносим все члены в одну сторону:

4cos^4(x) - 4cos^2(x) - 18cos(x)sin(x) + 9 = 0

Теперь у вас есть квадратное уравнение относительно cos(x) и sin(x), которое можно решить, например, методами подстановки. После нахождения значений cos(x) и sin(x) можно будет выразить x через арккосинус и арксинус соответственно.