Question

Вычислите площадь фигуры ограниченную линиями: а) у= √х+1 ,х=1 , х=4 ,у=0 ; б) у= 9-х^2, у=0

Answer 1

Решение смотрите во вложении

Answer 2

а) Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций, нужно найти интеграл от верхней функции до нижней по переменной, ограничивающей фигуру. В данном случае переменной будет использоваться x.

a) Для фигуры, ограниченной линиями у = √(x + 1), x = 1, x = 4, у = 0:

Сначала найдем точки пересечения линий: Уравнение у = √(x + 1) равно нулю при x = -1 (необходимо отбросить отрицательное значение, так как площадь не может быть отрицательной). Точки пересечения с осями координат: (1, 0) и (4, 0).

Интеграл для вычисления площади будет следующим: S = ∫[a,b] (верхняя функция - нижняя функция) dx,

где [a, b] - интервал, на котором определена фигура.

В данном случае интервал [a, b] равен [1, 4].

Итак, для площади фигуры получаем: S = ∫[1,4] (√(x + 1) - 0) dx = ∫[1,4] √(x + 1) dx.

Вычислим этот интеграл: S = ∫[1,4] √(x + 1) dx = (2/3)(x + 1)^(3/2) |[1,4] S = (2/3)(4 + 1)^(3/2) - (2/3)(1 + 1)^(3/2) S = (2/3)(125^(1/2) - 2^(1/2)) S ≈ 10.155

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиками у = √(x + 1), x = 1, x = 4, у = 0, составляет примерно 10.155.

б) Для фигуры, ограниченной линиями у = 9 - x^2, у = 0:

Сначала найдем точки пересечения линий: Уравнение у = 9 - x^2 равно нулю при x = -3 и x = 3. Точки пересечения с осями координат: (-3, 0) и (3, 0).

Интеграл для вычисления площади будет следующим: S = ∫[a,b] (верхняя функция - нижняя функция) dx,

где [a, b] - интервал, на котором определена фигура.

В данном случае интервал [a, b] равен [-3, 3].

Итак, для площади фигуры получаем: S = ∫[-3,3] (9 - x^2 - 0) dx = ∫[-3,3] (9 - x^2) dx.

Вычислим этот интеграл: S = ∫[-3,3] (9 - x^2) dx = 9x - (1/3)x^3 |[-3,3] S = (9(3) - (1/3)(3)^3) - (9(-3) - (1/3)(-3)^3) S = (27 - 9) - (-27 - 9) S = 18 - (-36) S = 18 + 36 S = 54

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиками у = 9 - x^2, у = 0, составляет 54.