Question

При каком значении а система уравнений имеет бесконечно много решений? 4x - ay = 3, 20x + 10y = 15

Answer 1

Ответ:  а = 2

Пошаговое объяснение:

Система уравнений вида $\left \{ {{a_{1}x + b_{1}y = c_{1 } \atop {a_{2}x } + b_{2} y = c_{2} } \right.$  имеет множество решений при

а1\ а2 = б 1 \ б2 = с1 \ с2

Значит   $\left \{ {{4x - ay=3} \atop {20x + 10y = 15}} \right.$ имеет множество решений при

4 \ 20 = а \ 10 = 3 \ 15

а \ 10 = 1 \ 5

5а = 10

а = 2

Значит при значении а = 2 система уравнений имеет множество решений

Answer 2

Для определения при каком значении переменной а система уравнений будет иметь бесконечно много решений, мы должны найти условие, при котором два уравнения станут линейно зависимыми, то есть станут пропорциональными друг другу.

Перепишем первое уравнение в виде выражения для y: y = (4x - 3) / a

Подставим это выражение для y во второе уравнение и решим его: 20x + 10((4x - 3) / a) = 15

Упростим это уравнение: 20x + (40x - 30) / a = 15

Приведём его к общему знаменателю: 20ax + (40x - 30) = 15a

Упростим дальше: 20ax + 40x - 30 = 15a

Поместим все слагаемые с x на одну сторону уравнения: 20ax + 40x - 15a - 30 = 0

Вынесем x за скобку: x(20a + 40) - (15a + 30) = 0

Упростим ещё раз: 20ax + 40x - 15a - 30 = 0

Теперь у нас есть уравнение, которое должно быть выполнено для любого x. Чтобы это было возможно, коэффициенты при x и свободный член должны равняться нулю:

20a + 40 = 0 и -15a - 30 = 0

Первое уравнение даёт нам: 20a = -40 a = -40 / 20 a = -2

Второе уравнение даёт нам: -15a = 30 a = 30 / -15 a = -2

Таким образом, при значении a = -2 система уравнений будет иметь бесконечно много решений.