Question

Используя формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение, упростите выражение cos2a–cos6a и найдите его значение, если cosa = 1/ корень из 3

Answer 1

$\cos2\alpha-\cos6\alpha=-2\sin\frac{2\alpha+6\alpha}2\sin\frac{2\alpha-6\alpha}2=-2\sin4\alpha\sin(-2\alpha)=\\=2\sin4\alpha\sin2\alpha=4\sin2\alpha\cos2\alpha\sin2\alpha=4\sin^22\alpha\cos2\alpha=\\=4\cos2\alpha(1-\cos^22\alpha)=4(2\cos^2\alpha-1)(1-(2\cos^2\alpha-1)^2)=\\=4(2\cos^2\alpha-1)(1-4\cos^4\alpha+4\cos^2\alpha-1)=\\=16\cos^2\alpha(1-2\cos^2\alpha)(\cos^2\alpha-1)\\\\\cos\alpha=\frac1{\sqrt3},\;\;\cos^2\alpha=\frac13$

$16\cos^2\alpha(1-2\cos^2\alpha)(\cos^2\alpha-1)=16\cdot\frac13\cdot\left(1-2\cdot\frac13\right)\cdot\left(\frac13-1\right)=\\=\frac{16}3\cdot\frac13\cdot\left(-\frac23\right)=-\frac{32}{27}=-1\frac5{27}$

Можно чуть проще:

$\cos2\alpha-\cos6\alpha=-2\sin\frac{2\alpha+6\alpha}2\sin\frac{2\alpha-6\alpha}2=-2\sin4\alpha\sin(-2\alpha)=\\=2\sin4\alpha\sin2\alpha=4\sin2\alpha\cos2\alpha\sin2\alpha=4\sin^22\alpha\cos2\alpha=\\=4(2\sin\alpha\cos\alpha)^2(2\cos^2\alpha-1)=16\sin^2\alpha\cos^2\alpha(2\cos^2\alpha-1)\\\\\cos\alpha=\frac1{\sqrt3},\;\cos^2\alpah=\frac13\\\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\Rightarrow\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha=1-\frac13=\frac23$

$16\sin^2\alpha\cos^2\alpha(2\cos^2\alpha-1)=16\cdot\frac23\cdot\frac13\cdot(2\cdot\frac13-1)=\frac{32}9\cdot\left(-\frac13\right)=-\frac{32}{27}=-1\frac5{27}$

Answer 2

Для упрощения выражения cos(2a) - cos(6a) используем формулы преобразования тригонометрических функций:

1. Формула суммы для косинуса: cos(A) + cos(B) = 2 * cos((A + B) / 2) * cos((A - B) / 2)
2. Формула разности для косинуса: cos(A) - cos(B) = -2 * sin((A + B) / 2) * sin((A - B) / 2)

Применяя эти формулы, получаем:

cos(2a) - cos(6a) = -2 * sin((2a + 6a) / 2) * sin((2a - 6a) / 2)

Упростим аргументы синусов:

sin(4a) * sin(-2a)

Обратите внимание, что sin(-x) = -sin(x):

-sin(4a) * sin(2a)

Теперь у нас есть упрощенное выражение -sin(4a) * sin(2a).

Так как у вас дано значение cos(a) = 1 / √3, то используем тригонометрическую связь cos^2(a) + sin^2(a) = 1:

sin^2(a) = 1 - cos^2(a) = 1 - (1 / √3)^2 = 1 - 1/3 = 2/3

Из этого следует, что sin(a) = ±√(2/3).

Теперь вернемся к исходному выражению -sin(4a) * sin(2a) и подставим значения синусов:

-√(2/3) * √(2/3) * 2√(2/3)

-2 * 2/3 = -4/3

Итак, упрощенное выражение -sin(4a) * sin(2a) равно -4/3.

Пожалуйста, обратите внимание, что вам нужно знать точное значение a для того, чтобы вычислить конечное численное значение данного выражения.