Question

Для функции f(x)=x^3 найдите первообразную F(x), график которой проходит через точку М (2; 1).

Answer 1

Ответ:

F(x)=x^4/4-3.

Найти первообразную.

Answer 2

Для нахождения первообразной функции $F(x)$ для $f(x) = x^3$, мы будем интегрировать $f(x)$ от $x$ до $x$. Начнем с вычисления интеграла:

$F(x) = \int f(x) \, dx = \int x^3 \, dx$

Чтобы найти интеграл, мы будем использовать формулу для интегрирования степенных функций:

$\int x^n \, dx = \frac{{x^{n+1}}}{{n+1}} + C$

где $n$ - степень, $C$ - константа интегрирования.

В нашем случае $n = 3$, поэтому:

$F(x) = \frac{{x^{3+1}}}{{3+1}} + C = \frac{{x^4}}{4} + C$

Теперь мы хотим найти значение константы $C$, чтобы график $F(x)$ проходил через точку $M(2, 1)$. Подставим координаты точки $M$ в уравнение $F(x)$ и решим для $C$:

$1 = \frac{{2^4}}{4} + C$

Решаем это уравнение:

$1 = \frac{{16}}{4} + C$

$1 = 4 + C$

$C = 1 - 4$

$C = -3$

Таким образом, константа интегрирования $C$ равна -3. Итак, первообразная функции $f(x) = x^3$, проходящая через точку $M(2, 1)$, имеет вид:

$F(x) = \frac{{x^4}}{4} - 3$