Question

Реши систему уравнений. {5sinx+2cosy=3 3sinx+5cosy=4 Смотреть ответ birlizavetka birlizavetka \left \{ {{20sin(x)+12cos(y)=8} \atop {20sin(x)+25cos(y)=15}} \right. вычитаем: 13cos(y)=7\\cos(y)=\frac{7}{13} \\y=(+-)arccos(\frac{7}{13})+2\pi k k∈Z -------\\\left \{ {{25sin(x)+15cos(y)=10} \atop {12sin(x)+15cos(y)=9}} \right. вычитаем: 13sin(x)=1\\sin(x)=\frac{1}{13}\\x=(-1)^karcsin(\frac{1}{13} )+\pi n n∈Z

Answer 1

Вы верно решаете систему уравнений, но у вас есть небольшие ошибки в вычислениях и записи. Давайте рассмотрим решение более подробно:

Исходная система уравнений:

1. $5\sin(x) + 2\cos(y) = 3$
2. $3\sin(x) + 5\cos(y) = 4$

Сначала давайте рассмотрим уравнение $5\sin(x) + 2\cos(y) = 3$:

Выразим $\sin(x)$: $5\sin(x) = 3 - 2\cos(y)$ $\sin(x) = \frac{3 - 2\cos(y)}{5}$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение $3\sin(x) + 5\cos(y) = 4$: $3\left(\frac{3 - 2\cos(y)}{5}\right) + 5\cos(y) = 4$

Раскроем скобки и упростим уравнение: $\frac{9 - 6\cos(y)}{5} + 5\cos(y) = 4$ $9 - 6\cos(y) + 25\cos(y) = 20$ $19\cos(y) = 11$ $\cos(y) = \frac{11}{19}$

Теперь найдем $y$: $y = \arccos\left(\frac{11}{19}\right) + 2\pi k$ где $k \in \mathbb{Z}$.

Аналогично решим уравнение $3\sin(x) + 5\cos(y) = 4$:

Выразим $\sin(x)$: $3\sin(x) = 4 - 5\cos(y)$ $\sin(x) = \frac{4 - 5\cos(y)}{3}$

Теперь подставим это выражение в первое уравнение $5\sin(x) + 2\cos(y) = 3$: $5\left(\frac{4 - 5\cos(y)}{3}\right) + 2\cos(y) = 3$

Раскроем скобки и упростим уравнение: $\frac{20 - 25\cos(y)}{3} + 2\cos(y) = 3$ $20 - 25\cos(y) + 6\cos(y) = 9$ $-19\cos(y) = -11$ $\cos(y) = \frac{11}{19}$

Заметим, что это точно такое же значение $\cos(y)$, которое мы уже нашли.

Таким образом, решение системы: $y = \arccos\left(\frac{11}{19}\right) + 2\pi k$ $x = \arcsin\left(\frac{1}{13}\right) + \pi n$ где $k, n \in \mathbb{Z}$.