Question

№1.Представьте выражение в виде степени выражение: 3√а :4√а . №2.Решите неравенство: логарифм по основанию 5 выражения (2х –1) ≤ 2 №3.Решите уравнение:sin2x +4 cos x = 4 №4.Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой у = х^2 и прямой у = 2 – х. №5.Найдите наименьшее значение функции у =1/4 х^4 – 2 х^2 на промежутке [ 0 ; 4].

Answer 1

Ответ:

ответы на первые 3 задания ниже

Пошаговое объяснение:

1)

$\frac{3a^{\frac{1}{2} }}{4a^{\frac{1}{2} } }$

2)

$log_{5} (2x-1)\leq 2\\2x-1\leq 25\\2x\leq 26\\x\leq 13 \\x>\frac{1}{2} \\(\frac{1}{2} ;13]$

3)

$sin2x+4cosx=4\\sin^2 x + 4cosx - 4 = 0\\1 - cos^2 x + 4cosx - 4 = 0\\-cos^2 x + 4cosx -3 = 0\\cos^2x - 4cosx + 3 = 0\\cosx = 1\\ cosx = 3\\x = 2\pi k ;$

k пренадлежит Z

x для cosx=3 не существует

Answer 2

№1. Выражение в виде степени: Давайте рассмотрим выражение 3√а : 4√а. Заметим, что √а = а^(1/2), а 3√а = а^(1/3). Теперь можем записать выражение в виде степени: 3√а : 4√а = а^(1/3) : а^(1/2) = а^(1/3 - 1/2) = а^(-1/6).

№2. Решение неравенства: Дано неравенство: log₅(2х – 1) ≤ 2. Перепишем его без логарифма: 2х – 1 ≤ 5² (поскольку log₅(5²) = 2). Решим это неравенство относительно х: 2х ≤ 26, х ≤ 13.

№3. Решение уравнения: Уравнение: sin(2x) + 4cos(x) = 4. Используем тригонометрические тождества: sin(2x) = 2sin(x)cos(x). Заменим sin(2x) в уравнении: 2sin(x)cos(x) + 4cos(x) = 4. Вынесем общий множитель cos(x): cos(x)(2sin(x) + 4) = 4. Теперь разделим обе стороны на (2sin(x) + 4): cos(x) = 4 / (2sin(x) + 4).

Заметим, что 4 / (2sin(x) + 4) = 1 / (sin(x)/2 + 1), и здесь sin(x)/2 + 1 находится в интервале [1, 3/2].

Так как значения cos(x) на интервале [1, 3/2] находятся в пределах [-1, 0], уравнение не имеет решений.

№4. Вычисление площади фигуры: Фигура ограничена параболой у = х² и прямой у = 2 – х. Для вычисления площади найдем точки пересечения этих двух функций: х² = 2 – х, х² + х – 2 = 0, (х + 2)(х - 1) = 0, х = -2 (не подходит, так как мы рассматриваем только x >= 0) или х = 1.

Площадь можно найти как интеграл разности этих функций на интервале [0, 1]: Площадь = ∫[0, 1] (2 - x - x²) dx = [2x - 0.5x² - x^3/3] от 0 до 1 = 2 - 0.5 - 1/3 = 1.1667.

№5. Нахождение наименьшего значения функции: Функция у = 1/4x^4 - 2x^2. Для нахождения экстремумов (минимумов и максимумов) найдем производную функции и приравняем ее к нулю: у' = 4x^3 - 4x.

Приравнивая производную к нулю и решая уравнение 4x^3 - 4x = 0, получаем x = 0, x = 1, x = -1.

Теперь найдем значения функции в этих точках: у(0) = 0, у(1) = -7/4, у(-1) = -7/4.

Наименьшее значение функции на промежутке [0, 4] равно -7/4, достигается оно в точке x = 1.