Question

20БАЛЛОВ Катер спустился по течению реки на расстояние 56 км и сразу вернулся назад. На это ему потребовалось 7 часов. Найдите скорость движения катера в стоячей воде, если известно, что вода в реке движется со скоростью 3 км/ч.

Answer 1

Ответ:

8 + √73 ≈ 16,5 км/ч

Пошаговое объяснение:

Обозначим скорость катера в стоячей воде v км/ч.

Тогда скорость по течению v+3 км/ч, а против течения v-3 км/ч.

Чтобы проплыть 56 км туда и обратно, понадобилось 7 часов.

56/(v+3) + 56/(v-3) = 7

Делим всё на 7

8/(v+3) + 8/(v-3) = 1

8(v-3) + 8(v+3) = 1(v+3)(v-3)

8v - 24 + 8v + 24 = v^2 - 9

16v = v^2 - 9

0 = v^2 - 16v - 9

D = (-16)^2 - 4*1*(-9) = 256 + 36 = 292 ≈ 17^2

На самом деле 17^2 = 289.

v1 = (16 - 17)/2 = -0,5 < 0 - не подходит.

v2 = (16 + 17)/2 = 33/2 = 16,5 км/ч.

Это примерный ответ. Более точный:

v = (16+√292)/2 = (16+2√73)/2 = 8 + √73 км/ч.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу времени, расстояния и скорости:

$\text{Время} = \frac{\text{Расстояние}}{\text{Скорость}}$

Пусть $V_c$ - скорость катера в стоячей воде (км/ч), $V_r$ - скорость течения реки (км/ч), $D$ - расстояние, которое он прошел (56 км).

Первый этап: спуск по течению. Время, которое затрачено на спуск, можно выразить как:

$T_1 = \frac{D}{V_c + V_r}$

Второй этап: возвращение против течения. Время, которое затрачено на возвращение, можно выразить как:

$T_2 = \frac{D}{V_c - V_r}$

Общее время $T$, затраченное на поездку туда и обратно, равно сумме $T_1$ и $T_2$:

$T = T_1 + T_2 = \frac{D}{V_c + V_r} + \frac{D}{V_c - V_r}$

Из условия задачи известно, что общее время $T$ составляет 7 часов:

$7 = \frac{D}{V_c + V_r} + \frac{D}{V_c - V_r}$

Теперь мы можем подставить известные значения ( $D = 56$ км, $V_r = 3$ км/ч) и решить уравнение относительно $V_c$:

$7 = \frac{56}{V_c + 3} + \frac{56}{V_c - 3}$

Умножим обе стороны на $(V_c + 3)(V_c - 3)$:

$7(V_c^2 - 3^2) = 56(V_c - 3) + 56(V_c + 3)$

$7V_c^2 - 63 = 56V_c - 168 + 56V_c + 168$

$7V_c^2 - 112V_c = 0$

$V_c^2 - 16V_c = 0$

$V_c(V_c - 16) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения $V_c$: $V_c = 0$ (это не имеет смысла, так как катер должен двигаться) и $V_c = 16$ км/ч.

Таким образом, скорость движения катера в стоячей воде составляет 16 км/ч.