Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченную линиями y=x^2-3x, y=x-3

Answer 1

Ответ:

$y = ( x - \frac{3}{2} ) {}^{2} - \frac{9}{4}$

$x = 3$

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, необходимо найти точки их пересечения и затем проинтегрировать разность функций между этими точками.

Для начала найдем точки пересечения этих двух кривых, приравняв их уравнения:

x^2 - 3x = x - 3

Перенесем все члены уравнения в одну сторону и получим:

x^2 - 4x + 3 = 0

Мы можем разложить это квадратное уравнение на множители:

(x - 1)(x - 3) = 0

Отсюда получаем две точки пересечения: x = 1 и x = 3.

Теперь, чтобы вычислить площадь фигуры, мы интегрируем разность функций между этими точками:

Площадь = ∫[1, 3] (x - 3 - (x^2 - 3x)) dx

= ∫[1, 3] (-x^2 + 4x - 3) dx

Для вычисления этого интеграла, возьмем интеграл каждого члена по отдельности:

= [(-1/3)x^3 + 2x^2 - 3x] [1, 3]

Вычислим это выражение при подстановке верхнего предела (3) и нижнего предела (1):

= [(-1/3)(3)^3 + 2(3)^2 - 3(3)] - [(-1/3)(1)^3 + 2(1)^2 - 3(1)]

= [-9 + 18 - 9] - [-1/3 + 2 - 3]

= 0 - (-10/3)

= 10/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2 - 3x и y = x - 3, равна 10/3 или приближенно 3.33 (округляем до двух знаков после запятой).