Question

Знайдіть косинус кута між векторами ̅а(-3;0;4), ̅b(1;-2;2).

Answer 1

a(-3; 0; 4), b(1; -2; 2)

|a| = √3²+4² = √25 = 5

|b| = √1²+2²+2² = √9 = 3

a•b = |a|•|b|•cos x

cos x = a•b/|a|•|b| = (-3•1-2•0+4•2)/5•3 = 5/5•3 = 1/3

Answer 2

Для знаходження косинуса кута між двома векторами можна використовувати наступну формулу:

$$\cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\| \cdot \|\mathbf{b}\|},$$

де $\mathbf{a}$ і $\mathbf{b}$ - це вектори, $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$ - їхній скалярний добуток, $\|\mathbf{a}\|$ і $\|\mathbf{b}\|$ - їхні довжини (або норми).

Давайте спершу знайдемо ці величини:

Довжина вектора $\mathbf{a}$:

$$\|\mathbf{a}\| = \sqrt{(-3)^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 0 + 16} = \sqrt{25} = 5.$$

Довжина вектора $\mathbf{b}$:

$$\|\mathbf{b}\| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3.$$

Скалярний добуток $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$:

$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (-3)(1) + (0)(-2) + (4)(2) = -3 + 0 + 8 = 5.$$

Тепер, підставивши ці значення в формулу для косинуса кута:

$$\cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\| \cdot \|\mathbf{b}\|} = \frac{5}{5 \cdot 3} = \frac{1}{3}.$$

Отже, косинус кута між векторами $\mathbf{a}$ і $\mathbf{b}$ дорівнює $1/3$.