Question

Розв’язати задачі з поясненням кожного кроку. 4.Скласти рівняння гіперболи з фокусами на осі ОХ, яка проходить через точки А(-8;2), В(6;-1).

Answer 1

Решение смотрите во вложении

Answer 2

Щоб скласти рівняння гіперболи з фокусами на осі ОХ, яка проходить через точки А(-8, 2) і В(6, -1), спершу нам потрібно знайти координати фокусів та різницю відстаней від фокусів до точок А і В. Давайте розглянемо кроки:

Крок 1: Знаходження координат фокусів. Фокуси гіперболи розташовані на осі ОХ. Це означає, що координати фокусів матимуть вигляд (c, 0) та (-c, 0), де c - це відстань від центра гіперболи до фокусів.

Знайдемо відстань між точками А і В: d(A, B) = √((6 - (-8))^2 + (-1 - 2)^2) = √(14^2 + 3^2) = √(196 + 9) = √205

Так як фокуси знаходяться на відстані c від центра гіперболи, то ми маємо рівність: c + c = √205 2c = √205 c = √205 / 2

Отже, координати фокусів будуть: Фокус 1: (c, 0) = (√205 / 2, 0) Фокус 2: (-c, 0) = (-√205 / 2, 0)

Крок 2: Знаходження різниці відстаней від фокусів до точок А і В. Для гіперболи маємо відомість, що різниця відстаней від фокусів до будь-якої точки на гіперболі є постійною і дорівнює 2a, де a - піввісь гіперболи.

d(Фокус 1, А) - d(Фокус 2, А) = 2a √((√205 / 2 - (-8))^2 + (2 - 0)^2) - √(((-√205 / 2) - (-8))^2 + (2 - 0)^2) = 2a

Спростимо вирази та знайдемо 2a: a = [√((√205 / 2 - (-8))^2 + 4) + √((√205 / 2 + 8)^2 + 4)] / 2

Крок 3: Складання рівняння гіперболи. Тепер ми можемо скласти рівняння гіперболи з відомими фокусами та піввіссю a:

Рівняння гіперболи з фокусами на осі ОХ має вигляд: (x - h)^2 / a^2 - (y - k)^2 / b^2 = 1,

де (h, k) - це координати центра гіперболи.

Замінимо відомі значення: (h, k) = ((-8 + 6) / 2, (2 - 1) / 2) = (-1, 0), a = [√((√205 / 2 - (-8))^2 + 4) + √((√205 / 2 + 8)^2 + 4)] / 2.

Остаточне рівняння гіперболи: (x + 1)^2 / a^2 - y^2 / b^2 = 1.

Тепер ви можете підставити значення a та b і отримати рівняння гіперболи з фокусами на осі ОХ, яка проходить через точки А(-8, 2) і В(6, -1).