Question

Наименьшее общее кратное четырёх попарно различных чисел равно 105. Какое максимальное значение может принимать сумма этих чисел?

Answer 1

Ответ: 176.

Пошаговое объяснение:

НОК(a, b, c, d) = 105, значит 105 делится на a, b, c и d.

Подберём максимально большие делители числа 105, чтобы в итоге сумма была наибольшей.

1. Сначала выпишем возможные делители числа 105:

105 = 3 * 35 = 3 * 5 * 7

105 делится на 3, 5, 7, 3*5 = 15, 3*7 = 21, 5*7 = 35, 3*5*7 = 105.

2. Теперь выбираем наибольшие из них: 105, 35, 21 и 15.

3. Находим их сумму:

105 + 35 + 21 + 15 = 176

Answer 2

Давайте обозначим эти четыре попарно различных числа как $a$, $b$, $c$ и $d$. Нам дано, что наименьшее общее кратное (НОК) этих чисел равно 105.

Мы знаем, что для двух чисел $x$ и $y$, НОК можно выразить как $\text{НОК}(x, y) = \frac{x \cdot y}{\text{НОД}(x, y)}$, где $\text{НОД}$ обозначает наибольший общий делитель.

Следовательно, для наших четырех чисел $a$, $b$, $c$ и $d$:

$\text{НОК}(a, b, c, d) = \frac{\text{НОК}(a, \text{НОК}(b, c, d))}{\text{НОД}(a, \text{НОК}(b, c, d))}$

Мы знаем, что $\text{НОК}(a, b, c, d) = 105$. Так как 105 - это произведение трех различных простых чисел: $3$, $5$ и $7$, и они не могут быть равны $a$, $b$, $c$ и $d$ одновременно, то это означает, что одно из чисел, допустим, $a$, равно $1$ (так как $\text{НОД}(1, 105) = 1$).

Теперь мы можем переписать формулу для $\text{НОК}$ следующим образом:

$\text{НОК}(1, b, c, d) = \frac{\text{НОК}(1, \text{НОК}(b, c, d))}{\text{НОД}(1, \text{НОК}(b, c, d))}$

Так как $\text{НОК}(1, b, c, d) = \text{НОК}(b, c, d)$, мы можем продолжить упрощение:

$\text{НОК}(b, c, d) = \frac{\text{НОК}(1, \text{НОК}(b, c, d))}{\text{НОД}(1, \text{НОК}(b, c, d))}$

Теперь мы видим, что $\text{НОК}(b, c, d)$ - это просто наименьшее общее кратное чисел $b$, $c$ и $d$.

Максимальное значение суммы $b + c + d$ будет получено, если $b$, $c$ и $d$ будут наибольшими возможными числами, которые делятся на $3$, $5$ и $7$ соответственно. Таким образом, максимальное значение суммы будет $3 \cdot 5 \cdot 7 = 105$.

Итак, максимальное значение суммы этих чисел равно $105$.