Question

Помогите пожалуйста В первой урне лежат 15 белых и 7 черных, во второй урне 5 белых 2 черных, в третьей урне лежат 5 белых 8 черных шара. Наугад выбирается одна урна, из которой вынимают один шар какова вероятность того что шар окажется черным.

Answer 1

А — наугад выбранный шар окажется черным.

B₁, B₂, B₃ — гипотезы, состоящием в том, что шар взят из 1,2,3 урны соответственно.

$P(B_1)=P(B_2)=P(B_3)=\frac{1}{3}$

$P(A|B_1)=\frac{7}{22};~~ P(A|B_2)=\frac{2}{7};~ P(A|B_3)=\frac{8}{13}$

$P(A)=\displaystyle \sum_{i=1}^{3}P(A|B_i)P(B_i)=\frac{1}{3}\Big(\frac{7}{22}+\frac{2}{7}+\frac{8}{13}\Big)=\frac{2441}{6006}\approx0{,}41$

Answer 2

Давайте найдем вероятность того, что будет вытащен черный шар. Для этого нам понадобится сначала найти вероятность выбора каждой урны.

Урна 1 содержит 15 белых и 7 черных шаров, всего 15 + 7 = 22 шара. Вероятность выбрать урну 1: $P(\text{Урна 1}) = \frac{22}{15 + 7 + 13} = \frac{22}{35}.$

Урна 2 содержит 5 белых и 2 черных шара, всего 5 + 2 = 7 шаров. Вероятность выбрать урну 2: $P(\text{Урна 2}) = \frac{7}{15 + 7 + 13} = \frac{7}{35}.$

Урна 3 содержит 5 белых и 8 черных шаров, всего 5 + 8 = 13 шаров. Вероятность выбрать урну 3: $P(\text{Урна 3}) = \frac{13}{15 + 7 + 13} = \frac{13}{35}.$

Теперь мы можем найти вероятность того, что будет вытащен черный шар из каждой урны, и затем учесть вероятность выбора каждой урны:

Вероятность вытащить черный шар из урны 1: $P(\text{Черный из Урны 1}) = \frac{7}{15 + 7} = \frac{7}{22}.$

Вероятность вытащить черный шар из урны 2: $P(\text{Черный из Урны 2}) = \frac{2}{5 + 2} = \frac{2}{7}.$

Вероятность вытащить черный шар из урны 3: $P(\text{Черный из Урны 3}) = \frac{8}{5 + 8} = \frac{8}{13}.$

Теперь умножим каждую из вероятностей вытащить черный шар на вероятность выбора соответствующей урны и сложим результаты:

$P(\text{Черный шар}) = P(\text{Черный из Урны 1}) \cdot P(\text{Урна 1}) + P(\text{Черный из Урны 2}) \cdot P(\text{Урна 2}) + P(\text{Черный из Урны 3}) \cdot P(\text{Урна 3})$

Подставим значения:

$P(\text{Черный шар}) = \frac{7}{22} \cdot \frac{22}{35} + \frac{2}{7} \cdot \frac{7}{35} + \frac{8}{13} \cdot \frac{13}{35} = \frac{7}{35} + \frac{2}{35} + \frac{8}{35} = \frac{17}{35}.$

Итак, вероятность того, что вытащенный шар будет черным, составляет $\frac{17}{35}$ или около 0,4857 (приближенно 48,57%).