Question

Записать уравнение плоскости, проходящей через начало координат и касающейся, заданной уравнением (x-1)²+(y+2)²+(z-2)²=9. Помогите пожалуйста)

Answer 1

Ответ: х+2у -2z=0

Пошаговое объяснение:

Если плоскость задана общим уравнением Ax + By + Cz + D = 0, то вектор → n(A;B;C) является вектором нормали данной плоскости.

Вектор от точки касания к центру сферы будет вектором нормали к плоскости

Уравнение сферы; (x-1)²+(y+2)²+(z-2)²=9

Координаты центра сферы М(1;-2;2), радиус R =√9=3

 Начало координат О(0;0;0)  

Вектор нормали к плоскости →n = →МО  = → (-1, 2,-2)

|n| = √(1² + 2² + 2²) = √(1 + 4 + 4) = √9 = 3

Длина вектора нормали  равна радиусу сферы. Плоскость, проходящая через точку О(0;0;0)  и перпендикулярной вектору →n(-1; 2;-2).

⇒А= -1, В=2, С=-2. Тогда уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0⇔-х+2у -2z=0

Answer 2

Чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через начало координат и касающейся заданной сферы, мы можем воспользоваться свойствами геометрии.

Сфера с центром в точке (1, -2, 2) и радиусом 3 имеет уравнение: $(x-1)^2 + (y+2)^2 + (z-2)^2 = 9.$

Так как мы ищем плоскость, которая касается сферы и проходит через начало координат (0, 0, 0), то нормаль плоскости будет направлена из начала координат в сторону центра сферы, то есть в точку (1, -2, 2).

Нормаль плоскости можно найти, вычислив разность между координатами точки на сфере (1, -2, 2) и началом координат (0, 0, 0): $n = (1, -2, 2) - (0, 0, 0) = (1, -2, 2).$

Теперь, у нас есть нормаль плоскости, и мы знаем, что точка (0, 0, 0) лежит на этой плоскости. Используя общее уравнение плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$, мы можем подставить нормаль и координаты точки: $1 \cdot x + (-2) \cdot y + 2 \cdot z + D = 0.$

Так как плоскость проходит через начало координат, координаты (0, 0, 0) подходят под это уравнение: $0 + 0 + 0 + D = 0,$ $D = 0.$

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через начало координат и касающейся сферы $(x-1)^2 + (y+2)^2 + (z-2)^2 = 9,$ будет: $x - 2y + 2z = 0.$