Question

Записать структуру частного решения линейного неоднородного уравнения по виду правой части. 2y''-7y'+3y=f(x) 1) f(x)=(2x+1) 2) f(x)=cos3x

Answer 1

Решение  прикрепляю в виде  фотографии

Answer 2

Для нахождения частного решения линейного неоднородного уравнения вида $2y'' - 7y' + 3y = f(x)$, где $f(x)$ - правая часть, нужно рассмотреть два случая в зависимости от вида функции $f(x)$:

1. $f(x) = 2x + 1$: Для этого случая предположим, что частное решение имеет вид $y_p = ax + b$, где $a$ и $b$ - некоторые константы. Подставим это предположение в уравнение и найдем значения $a$ и $b$:

$2y'' - 7y' + 3y = f(x) = 2x + 1.$

Вычислим производные второго порядка от $y_p$: $y_p'' = 0,$ $y_p' = a,$ $y_p = ax + b.$

Подставляем найденные производные в уравнение: $2 \cdot 0 - 7 \cdot a + 3(ax + b) = 2x + 1.$ $3ax - 7a + 3b = 2x + 1.$

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $x$ слева и справа, получаем систему уравнений:

3a = 2, \\ -7a + 3b = 1. \end{cases}\] Из первого уравнения следует, что \(a = \frac{2}{3}\), а подставив это значение во второе уравнение, найдем \(b\): \[-7 \cdot \frac{2}{3} + 3b = 1,\] \[-\frac{14}{3} + 3b = 1,\] \[3b = \frac{17}{3},\] \[b = \frac{17}{9}.\] Таким образом, частное решение для случая \(f(x) = 2x + 1\) имеет вид: \[y_p = \frac{2}{3}x + \frac{17}{9}.\] 2. \(f(x) = \cos(3x)\): Для этого случая предположим, что частное решение имеет вид \(y_p = A \cos(3x) + B \sin(3x)\), где \(A\) и \(B\) - некоторые константы. Подставим это предположение в уравнение и найдем значения \(A\) и \(B\): \[2y'' - 7y' + 3y = f(x) = \cos(3x).\] Вычислим производные и подставим их в уравнение: \[y_p'' = -9A \cos(3x) - 9B \sin(3x),\] \[y_p' = -3A \sin(3x) + 3B \cos(3x),\] \[y_p = A \cos(3x) + B \sin(3x).\] Подставляем найденные производные в уравнение и приравниваем коэффициенты при одинаковых тригонометрических функциях слева и справа: \[2(-9A \cos(3x) - 9B \sin(3x)) - 7(-3A \sin(3x) + 3B \cos(3x)) + 3(A \cos(3x) + B \sin(3x)) = \cos(3x).\] Упрощаем уравнение: \[-18A \cos(3x) - 18B \sin(3x) + 21A \sin(3x) - 21B \cos(3x) + 3A \cos(3x) + 3B \sin(3x) = \cos(3x).\] Собираем коэффициенты при \(\cos(3x)\) и \(\sin(3x)\) вместе: \[(3A - 21B) \cos(3x) + (-18B + 21A + 3B) \sin(3x) = \cos(3x).\] Сравнив коэффициенты при тригонометрических функциях слева и справа, получаем систему уравнений: \[\begin{cases} 3A - 21B = 1, \\ -18B + 21A + 3B = 0. \end{cases}\] Второе уравнение можно упростить: \[-15B + 21A = 0,\] \[3A = 5B.\] Из второго уравнения следует, что \(B = \frac{3}{5}A\). Подставляем это значение в первое уравнение: \[3A - 21 \cdot \frac{3}{5}A = 1,\] \[3A - \frac{63}{5}A = 1,\] \[\frac{2}{5}A = 1,\] \[A = \frac{5}{2}.\] Таким образом, \(B = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{2} = \frac{3}{2}\), и частное решение для случая \(f(x) = \cos(3x)\) имеет вид: \[y_p = \frac{5}{2} \cos(3x) + \frac{3}{2} \sin(3x).\] Итак, частные решения для обоих случаев заданной линейной неоднородной системы найдены.