Question

Напишите уравнение касательной к графику функций f(x)=3+5x+3x^2 с абциссой Х0=-2

Answer 1

$\displaystyle\\f(x)=3+5x+3x^2\ \ \ \ x_0=-2\\\\y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\\\\f(x_0)=3+5*(-2)+3*(-2)^2=3-10+3*4=-7+12=5\\\\f'(x)=5+6x\\\\f'(x_0)=5+6*(-2)=5-12=-7\\\\y=-7(x+2)+5=-7x-14+5=-7x-9\\\\\boxed{y=-7x-9}$

Answer 2

Для нахождения уравнения касательной к графику функции $f(x) = 3 + 5x + 3x^2$ в точке $x_0 = -2$, мы можем использовать производную функции в данной точке. Касательная к графику функции в данной точке будет иметь такой же наклон, как и график функции в этой точке.

1. Найдем производную функции $f(x)$: $f'(x) = \frac{d}{dx}(3 + 5x + 3x^2) = 5 + 6x.$

2. Подставим значение $x_0 = -2$ в производную, чтобы найти значение наклона (или углового коэффициента) касательной в данной точке: $f'(-2) = 5 + 6 \cdot (-2) = -7.$

3. Уравнение касательной имеет вид: $y = f'(-2) \cdot (x - (-2)) + f(-2).$

4. Подставим значения $f'(-2)$ и $f(-2)$ в уравнение: $y = -7(x + 2) + (3 + 5(-2) + 3(-2)^2).$ $y = -7x - 14 + (3 - 10 + 12).$ $y = -7x + 5.$

Итак, уравнение касательной к графику функции $f(x) = 3 + 5x + 3x^2$ в точке $x_0 = -2$ равно $y = -7x + 5$.