Question

Найти первообразную функции f(x)=2e^-x+cos3x, график которой проходит через точку А(0;2)​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

сначала найдем множество всех первообразных

$\int\limits {cos3x} \, dx +2\int\limits {e^{-x} } \, dx = \left[\begin{array}{ccc}u= 3x &du =3dx \\s=-x&ds=-dx\\\end{array}\right] =$

u  для первого интеграла, s - для второго и после интегрирования произведем обратную подстановку

$\frac{1}{3} \int\limits {cos u} \, du -2\int\limits {e^{s} } \, ds = \frac{1}{3} sin (3x) -2e^{-x} +C$

теперь найдем С. для этого подставим значения х и у из точки А в первообразную

х₀ = 0

у₀ = 2

2 = 1/3 * sin (3*0) - 2e⁰ +C

2 = 0 - 2*1 +C

C = 4

ответ

$F(x) = = \frac{1}{3} sin (3x) -2e^{-x} +4$

Answer 2

Для нахождения первообразной функции $f(x)$ = $2e^{-x}+\cos(3x)$, которая проходит через точку $A(0, 2)$, нам нужно найти антипроизводную данной функции. Процесс интегрирования будет состоять из двух частей: интегрирования каждого слагаемого по отдельности.

1. Интегрирование $2e^{-x}$: Интеграл $\int 2e^{-x} \, dx$ можно найти, применив правило интегрирования для экспоненциальной функции: $\int 2e^{-x} \, dx = -2e^{-x} + C_1,$ где $C_1$ — произвольная постоянная.

2. Интегрирование $\cos(3x)$: Интеграл $\int \cos(3x) \, dx$ можно найти, применив правило интегрирования для тригонометрической функции: $\int \cos(3x) \, dx = \frac{1}{3} \sin(3x) + C_2,$ где $C_2$ — ещё одна произвольная постоянная.

Теперь объединим оба интеграла и найдем первообразную $F(x)$ для функции $f(x)$: $F(x) = -2e^{-x} + \frac{1}{3} \sin(3x) + C,$ где $C = C_1 + C_2$ — общая постоянная интегрирования.

Используя данное выражение, мы можем найти значение постоянной $C$ из условия, что график проходит через точку $A(0, 2)$: $F(0) = -2e^{0} + \frac{1}{3} \sin(0) + C = -2 + 0 + C = 2.$ Отсюда следует, что $C = 4$.

Итак, первообразная функции $f(x)$, проходящей через точку $A(0, 2)$, имеет вид: $F(x) = -2e^{-x} + \frac{1}{3} \sin(3x) + 4.$