Question

Знайдіть проміжки спадання функції f(x) = x3 – 3x2 – 9x + 3

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

f'(x)=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3),   y'=0,  x^2-2x-3=0,

корни  х=-1  и  х=3 (стационарные точки),

____-____[-1]_____+_____[3]_____-_____  y'

убыв.                возр.                  убыв.        у

убывает (-Б;-1],  [3;+Б)

возр.   [-1;3]

,

Answer 2

Для знаходження проміжків, на яких функція $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 3$ є спадною, спершу потрібно знайти похідну функції та визначити її знак.

1. Знайдемо похідну функції $f(x)$: $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9.$

2. Знайдемо корені похідної функції, розв'язавши рівняння $f'(x) = 0$: $3x^2 - 6x - 9 = 0.$

Для розв'язання цього квадратного рівняння, поділимо обидві сторони на 3: $x^2 - 2x - 3 = 0.$

Тепер ми можемо розв'язати це рівняння, використовуючи квадратне рівняння або факторизацію: $(x - 3)(x + 1) = 0.$

Звідси отримуємо два корені: $x = 3$ і $x = -1$.

3. Оцінимо знак похідної на інтервалах, використовуючи тестування точок:

   • Для $x < -1$, оберемо точку $x = -2$: $f'(-2) = 3(-2)^2 - 6(-2) - 9 = 12 + 12 - 9 = 15 > 0.$ Отже, на цьому інтервалі похідна позитивна, що вказує на спадання функції.

   • Для $-1 < x < 3$, оберемо точку $x = 0$: $f'(0) = 3(0)^2 - 6(0) - 9 = -9 < 0.$ Отже, на цьому інтервалі похідна від'ємна, що вказує на зростання функції.

   • Для $x > 3$, оберемо точку $x = 4$: $f'(4) = 3(4)^2 - 6(4) - 9 = 48 - 24 - 9 = 15 > 0.$ Отже, на цьому інтервалі похідна позитивна, що вказує на спадання функції.

Отже, функція $f(x)$ є спадною на інтервалах $(-∞, -1)$ та $(3, +∞)$.