Question

Найти точки экстремума функции: y=6x^2-x^3

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

y=f(x)=6x²-x³

f'(x)=12x-3x²

12x-3x²=0

3x(4-x)=0

x₁=0

4-x=0

x₂=4

Критические точки наносим на координатную ось и определяем знаки каждого периода:

     -        0           +          4        -        

Xmin.=0        (y min=0)

Xmax.=4        (y max.=96-64=32)

Answer 2

Для того чтобы найти точки экстремума функции, нужно найти её производные и найти значения x, при которых производные равны нулю.

Исходная функция: y = 6x^2 - x^3

1. Найдем производную функции y по x: y' = d/dx (6x^2 - x^3) = 12x - 3x^2

2. Найдем значения x, при которых производная равна нулю: 12x - 3x^2 = 0 3x(4 - x) = 0

Таким образом, имеем два критических значения x: x = 0 и x = 4.

3. Теперь найдем значения y, соответствующие найденным значениям x: При x = 0: y = 6 * 0^2 - 0^3 = 0 При x = 4: y = 6 * 4^2 - 4^3 = 96 - 64 = 32

Итак, у нас есть две точки, где может находиться экстремум функции: (0, 0) и (4, 32).

Для определения типа экстремума (максимум или минимум) можно проанализировать знаки второй производной вблизи этих точек. В данном случае, вторая производная равна 12 - 6x. Подставляя x = 0 и x = 4, получаем:

При x = 0: y''(0) = 12 - 6 * 0 = 12 > 0 (минимум) При x = 4: y''(4) = 12 - 6 * 4 = -12 < 0 (максимум)

Следовательно, точка (0, 0) является точкой минимума, а точка (4, 32) — точкой максимума функции.