Question

Решите уравнение с разделяющимися переменными (x+y)^2*y'=a^2 y(0)=a

Answer 1

Ответ:

y=a*atan((y+x)/a))+(3/4)π*a

Пошаговое объяснение:

Делаем замену g=x+y,  тогда y'=g'-1

Уравнение запишется в виде g^2*(g'-1)=a^2

Оно переходит в уравнение g^2*g'/(a^2+g^2)=1, в котором переменные разделяются

g^2*dg/(a^2+g^2)=dx

(1-a^2dg/(a^2+g^2))=dx

Интегрируем левую и правую часть

g-a*atan(g/a)=x+C

y(0)=a Тогда g(0)=a

a-a*atan(1)=C => C=(3/4)π*a

Возвращаемся к у.

(y+x)-a*atan((y+x)/a))=x+(3/4)π*a

y-a*atan((y+x)/a))=(3/4)π*a

y=a*atan((y+x)/a))+(3/4)π*a

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение относится к уравнениям с разделяющимися переменными. Давайте начнем с его решения.

Исходное уравнение: $(x+y)^2 \cdot y' = a^2, \quad y(0) = a$

Для начала разделим переменные, перемещая выражение с y' на одну сторону, а выражение с y на другую сторону: $\frac{dy}{dx} = \frac{a^2}{(x+y)^2}$

Теперь давайте разделим переменные, переместив dx на одну сторону и выражение с y на другую сторону: $\frac{dy}{(x+y)^2} = \frac{a^2}{dx}$

Интегрируем обе стороны уравнения: $\int \frac{1}{(x+y)^2} \, dy = \int a^2 \, dx$

Левую часть можно проинтегрировать, используя замену переменных. Положим $u = x + y$, тогда $du = dx + dy$: $\int \frac{1}{u^2} \, du = \int a^2 \, dx$ $- \frac{1}{u} = a^2 x + C_1$

Обратная замена $u = x + y$: $-\frac{1}{x+y} = a^2 x + C_1$

Теперь найдем константу интегрирования $C_1$ с использованием начального условия $y(0) = a$: $-\frac{1}{0 + a} = a^2 \cdot 0 + C_1$ $- \frac{1}{a} = C_1$

Подставляем $C_1$ обратно в уравнение: $-\frac{1}{x+y} = a^2 x - \frac{1}{a}$

Теперь можно решить это уравнение относительно $y$: $x+y = -\frac{1}{a^2 x} + \frac{1}{a}$ $y = -x - \frac{1}{a^2 x} + \frac{1}{a}$

Это решение дифференциального уравнения с заданным начальным условием $y(0) = a$.