Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=sin2x, с осью Ох и прямыми x=π/6 и x=π/2

Answer 1

Ответ:

$\frac{\sqrt{3} }{4}$

Пошаговое объяснение:

$f(x)=sin2x\\F(x)=-\frac{1}{2} cos2x\\\\\int\limits^\frac{\pi }{2} _\frac{\pi }{6} {(sin2x)} \, dx =-\frac{1}{2} cos\frac{\pi }{2}+\frac{1}{2} cos\frac{\pi }{6} =-\frac{1}{2} *0+\frac{1}{2} *\frac{\sqrt{3} }{2} =\frac{\sqrt{3} }{4}$

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиком функции y = sin^2(x), осью Ох и прямыми x = π/6 и x = π/2, нужно найти интеграл функции sin^2(x) на интервале [π/6, π/2] и затем вычислить абсолютное значение этого интеграла.

Интеграл функции sin^2(x) на интервале [π/6, π/2] можно вычислить следующим образом:

∫[π/6, π/2] sin^2(x) dx

Для вычисления этого интеграла можно воспользоваться формулой половинного угла:

sin^2(x) = (1 - cos(2x)) / 2

Интегрируем это выражение:

∫[π/6, π/2] (1 - cos(2x)) / 2 dx

= (1/2) * ∫[π/6, π/2] (1 - cos(2x)) dx

= (1/2) * [x - (1/2) * sin(2x)] |[π/6, π/2]

Вычисляем верхний и нижний пределы:

= (1/2) * [(π/2 - (1/2) * sin(π)) - (π/6 - (1/2) * sin(π/3))]

= (1/2) * [(π/2 + 0) - (π/6 - √3/4)]

= (1/2) * [(3π - π - 2√3) / 6]

= (1/2) * [(2π - 2√3) / 6]

= (π - √3) / 6

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = sin^2(x), осью Ох и прямыми x = π/6 и x = π/2, равна (π - √3) / 6.