Question

Вычислите площадь фигуры,ограниченной заданными линиями у=5х-х^2; у=0

Answer 1

Пошаговое объяснение:

$y=5x-x^2;y=0;S=?\\5x-x^2=0\\x^2-5x=0\\x=(x-5)=0\\x_1=0;x_2=5.\\S=\int\limits^5_0 {(5x-x^2)-0)} \, dx=-\int\limits^5_0 {(x^2-5x)} \, dx=-(\frac{x^3}{3}-\frac{5x^2}{2})|_0^5=\\ =-(\frac{5^3}{3}-\frac{5*5^2}{2} -( \frac{0^3}{3}-\frac{5*0^2}{2}))=-(\frac{125}{3} -\frac{125}{2}-0) =\frac{125*3-125*2}{2*3}=\frac{125}{6}=20\frac{5}{6} .$Ответ: S≈20,833 кв. ед.

Answer 2

Для вычисления площади фигуры между заданными кривыми, необходимо найти точки их пересечения и затем интегрировать разницу между ними по оси x.

Сначала найдем точки пересечения кривых, то есть значения x, при которых y обеих кривых равны друг другу:

у = 5x - x^2 у = 0

Приравнивая эти два уравнения друг другу, получаем:

5x - x^2 = 0

Решив это квадратное уравнение, получаем два значения x: x = 0 и x = 5.

Таким образом, фигура ограничена вертикальными линиями x = 0 и x = 5.

Теперь интегрируем разницу между кривыми по оси x для вычисления площади:

Площадь = ∫[0, 5] (5x - x^2) dx

Вычислим этот интеграл:

Площадь = [5x^2 / 2 - (x^3) / 3] от 0 до 5 Площадь = [(5 * 5^2 / 2 - 5^3 / 3) - (0 - 0)] Площадь = [125/2 - 125/3] Площадь = (375 - 250) / 6 Площадь = 125 / 6

Итак, площадь фигуры, ограниченной заданными кривыми y = 5x - x^2 и y = 0, равна 125/6 квадратных единиц.