Question

Прямоугольный треугольник с катетами 8 см и 15 см вращается вокруг меньшего катета. Найдите объем и площадь полной поверхности фигуры вращения.

Answer 1

Дано: конус с вершиной B, с высотой AB = 8 cm, с радиусом основания AC = 15 cm

Найти: Sкон, Vкон - ?

Решение:

Подставим значения в формулу объема конуса:

    $V_{KOH} = \frac{1}{3}r^2\cdot h\cdot \pi = \frac{1}{3}AC^2\cdot AB\cdot \pi \\\\V_{KOH} = \frac{1}{3}\cdot 15^2\cdot 8\cdot \pi = \frac{1800}{3} =600 \pi \:\: (cm^3)$

Найдем образующую конуса BC через прямоугольный ΔABC (∠A = 90°), приметим т. Пифагора:

    $BC^2 = AB^2+AC^2 \:\: \Leftrightarrow \:\: BC=\sqrt{AB^2+AC^2} \\BC=\sqrt{8^2+15^2} = \sqrt{64+225} = \sqrt{289} = 17 \:\: (cm)$

Подставим значения в формулу полной поверхности конуса:

$S_{KOH} = S_{OCH}+S_{6OK} = r^2\pi + rl\pi = AC^2\pi + AC\cdot BC\pi \\S_{KOH} = 15^2\pi + 15\cdot 17\pi = 225\pi + 255\pi = 480\pi \:\: (cm^2)$

Ответ: объем равен 600π cm³, площадь полной поверхности равна 480π cm².

Answer 2

Чтобы найти объем и площадь полной поверхности фигуры вращения, нужно использовать формулы для поверхностей вращения. В данном случае мы вращаем треугольник вокруг меньшего катета (8 см), что создает конус.

Объем конуса можно вычислить по формуле: $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h,$ где $r$ - радиус основания конуса (половина меньшего катета), а $h$ - высота конуса (длина большего катета).

Площадь полной поверхности конуса можно вычислить по формуле: $A = \pi r (r + l),$ где $l$ - образующая конуса.

Давайте подставим значения в формулы и вычислим результаты.

Радиус основания $r = \frac{8}{2} = 4$ см, Высота $h = 15$ см, Образующая $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{4^2 + 15^2} = \sqrt{16 + 225} = \sqrt{241}$ см.

Теперь вычислим объем: $V = \frac{1}{3} \pi \cdot 4^2 \cdot 15 = \frac{1}{3} \cdot 16 \pi \cdot 15 = 80 \pi \, \text{см}^3.$

А также площадь полной поверхности: $A = \pi \cdot 4 \cdot (4 + \sqrt{241}) = 4\pi(4 + \sqrt{241}) \approx 137.55 \, \text{см}^2.$

Итак, объем фигуры вращения составляет $80\pi \, \text{см}^3$, а площадь полной поверхности составляет примерно $137.55 \, \text{см}^2$.