Question

Прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 12 см вращается вокруг меньшего катета. Найдите площадь полной поверхности и объем образованного при этом вращении конуса

Answer 1

При вращении получается конус с h=5 и r=12
Найдем образующую конуса:
l=√(r²+h²)=√(25+144)=√169=13 (см)
S(полн)=S(бок)+S(осн)=πrl+πr²=12*13π+12²π=156π+144π=300π (см²)
V=(1/3)*πr²*h=(1/3)*12²*5π=240π (см³)

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать формулы для нахождения площади поверхности и объема конуса.

Площадь поверхности конуса вычисляется по формуле:

S = πr(r + l),

где r - радиус основания, l - образующая конуса.

Для того чтобы найти радиус основания, нам необходимо использовать теорему Пифагора:

a² + b² = c²,

где a и b - катеты прямоугольного треугольника, c - гипотенуза.

В данном случае меньший катет a = 5 см, а больший катет b = 12 см, поэтому:

c² = a² + b² = 5² + 12² = 169, c = √169 = 13.

Радиус основания конуса равен половине меньшего катета, то есть r = a/2 = 2.5 см. Образующая конуса будет равна гипотенузе прямоугольного треугольника, l = c = 13 см.

Теперь мы можем вычислить площадь поверхности конуса:

S = πr(r + l) = π × 2.5 × (2.5 + 13) ≈ 123.6 см².

Объем конуса вычисляется по формуле:

V = (1/3)πr²h,

где h - высота конуса.

Высоту конуса можно найти, используя теорему Пифагора для небольшого прямоугольного треугольника, образованного меньшим катетом и образующей конуса:

h² = c² - r² = 13² - 2.5² = 164.75, h = √164.75 ≈ 12.837 см.

Теперь мы можем вычислить объем конуса:

V = (1/3)πr²h = (1/3)π × 2.5² × 12.837 ≈ 53.4 см³.

Таким образом, площадь полной поверхности конуса, образованного вращением прямоугольного треугольника с катетами 5 см и 12 см вокруг меньшего катета, составляет около 123.6 см², а его объем - около 53.4 см³.