Question

Сума коренів характеристичного рівняННЯ y” — 12y" — 3y = 0 дорівнює Выберите один ответ:вірна відповідь відсутняо-12-3312 ​

Answer 1

Полагаю, что в условии уравнение выглядит так $y''-12y'-3y=0$

Нехай $y=e^{kx}$, отримуємо відповідно характеристичне рівняння

$k^2-12k-3k=0$

Сума коренів хар. рівняння: $12$ (за теоремою Вієта)

Answer 2

Для знаходження суми коренів характеристичного рівняння y'' - 12y' - 3y = 0, спершу ми повинні знайти корені цього рівняння.

Загальний вигляд характеристичного рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами виглядає так:

$ay'' + by' + cy = 0,$

де $a$, $b$ і $c$ - константи.

В даному випадку $a = 1$, $b = -12$ і $c = -3$.

Характеристичне рівняння буде:

$y'' - 12y' - 3y = 0.$

Щоб знайти корені цього рівняння, ми можемо спробувати знаходження розв'язків виду $y = e^{rt}$, де $r$ - невідомий корінь. Підставимо цей вид розв'язку в рівняння:

$r^2 e^{rt} - 12r e^{rt} - 3e^{rt} = 0.$

Поділимо обидві частини на $e^{rt}$:

$r^2 - 12r - 3 = 0.$

Це квадратне рівняння можна розв'язати за допомогою квадратного кореня або квадратного виразу:

$r = \frac{12 \pm \sqrt{12^2 + 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2}.$

$r = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 12}}{2}.$

$r = \frac{12 \pm \sqrt{156}}{2}.$

$r = \frac{12 \pm 2\sqrt{39}}{2}.$

$r = 6 \pm \sqrt{39}.$

Отже, корені характеристичного рівняння є $r_1 = 6 + \sqrt{39}$ і $r_2 = 6 - \sqrt{39}$.

Сума цих коренів:

$r_1 + r_2 = (6 + \sqrt{39}) + (6 - \sqrt{39}) = 12.$

Отже, сума коренів характеристичного рівняння y'' - 12y' - 3y = 0 дорівнює 12.