Question

«Решение задач по аналитической геометрии». 1.Найти центр и радиус окружности: x^2+y^2-10x+9=0. 2.Составить уравнение эллипса, координаты фокусов которого (-7;0) и (7;0), а эксцентриситет Ɛ=0,28. 3.Найти координаты фокуса и уравнение директрисы параболы, заданной уравнением y^2=8x.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

1) x²+y²-10*x+9=(x²-10*x)+y²+9=[(x-5)²-25]+y²+9=(x-5)²+y²-16=0, откуда (x-5)²+y²=16=4² - это уравнение окружности с центром в точке O(5;0) и радиуса R=4.

2) Уравнение эллипса имеет вид x²/a²+y²/b²=1, где a и b - большая и малая полуоси эллипса. Фокусное расстояние эллипса c=[7-(-7)]/2=7. Так как b²=a²-c² и e=c/a, то a=c/e=7/0,28=25 и тогда b=√(a²-c²)=√576=24.  Поэтому уравнение эллипса таково: x²/625+y²/576+1.

3) Уравнение параболы задано в форме y²=2*p*x, откуда p=8/2=4 - расстояние от фокуса до директрисы параболы. Поэтому директриса имеет уравнение x=-p/2=-2, а абсцисса фокуса x0=x+p=x+4=2. Поэтому фокус имеет координаты (2;0.

Answer 2

1. Для нахождения центра и радиуса окружности из уравнения x^2 + y^2 - 10x + 9 = 0 нужно привести уравнение к стандартному виду окружности: (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2.

Сначала выразим полные квадраты для координат x и y: x^2 - 10x + y^2 + 9 = 0 (x^2 - 10x + 25) + y^2 = 16 (x - 5)^2 + y^2 = 16.

Теперь у нас есть уравнение окружности в стандартной форме, где (h, k) - координаты центра, а r - радиус окружности. В данном случае центр окружности будет (5, 0), а радиус равен 4.

2. Уравнение эллипса можно записать в виде: (x - h)^2 / a^2 + (y - k)^2 / b^2 = 1, где (h, k) - координаты центра эллипса, а a и b - большая и малая полуоси соответственно. Эксцентриситет эллипса связан с полуосями следующим образом: Ɛ = √(1 - b^2 / a^2).

Известно, что фокусы лежат на оси x и имеют координаты (-7, 0) и (7, 0), а также Ɛ = 0,28. Так как фокусы находятся на расстоянии 2a друг от друга (фокусное расстояние равно 2a), мы можем записать: 2a = 2 * 7 = 14.

Теперь используем формулу для эксцентриситета: Ɛ = √(1 - b^2 / a^2) 0,28 = √(1 - b^2 / 7^2) 0,28 = √(1 - b^2 / 49) 0,28^2 = 1 - b^2 / 49 0,0784 = 1 - b^2 / 49 b^2 / 49 = 1 - 0,0784 b^2 / 49 = 0,9216 b^2 = 0,9216 * 49 b^2 = 45,1584 b ≈ 6,718.

Таким образом, a = 7, b ≈ 6,718. Центр эллипса находится в точке (0, 0), и уравнение эллипса можно записать как: x^2 / 7^2 + y^2 / (6,718)^2 = 1.

3. Для параболы с уравнением y^2 = 8x нам известно, что фокусное расстояние равно a = 2p, где p - фокусное расстояние, и уравнение директрисы y = -p.

Сравнивая с данным уравнением (y^2 = 8x), видно, что 8 = 4p, следовательно, p = 2.

Фокус находится на расстоянии 2 от вершины параболы вдоль оси x, поэтому координаты фокуса равны (2, 0). Уравнение директрисы параболы -x = -2, то есть x = 2.

Таким образом, координаты фокуса - (2, 0), а уравнение директрисы - x = 2.