Question

Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду. Для эллипса найти координаты вершин и фокусов, для гиперболы - координаты вершин, фокусов и уравнения асимптот, для параболы - координаты фокуса и уравнение директрисы, для окружности - координаты центра и радиус. Сделать чертеж. (x+1)^2 = (x-y-1)(x+y-1)

Answer 1

Дано уравнение (x+1)^2 = (x-y-1)(x+y-1) . Раскроем скобки.

х² + 2х + 1 = х² -ху - х + ху - у² - у - х +у +1. Приведём подобные.

у² + 4х = 0.Это уравнение параболы у² = 2*(-2)х.

Ветви её направлены влево параллельно оси Ох.

Параметр р = -2. Вершина в начале координат, фокус в точке (-1; 0).

Уравнение директрисы х = 1.

Answer 2

Для приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому виду, нам потребуется провести некоторые преобразования. Рассмотрим данное уравнение:

(x+1)^2 = (x-y-1)(x+y-1)

Раскроем скобки в обоих членах правой части:

(x+1)^2 = (x^2 - y^2 - 2xy + x + y - 1)

Распишем квадрат слева:

x^2 + 2x + 1 = x^2 - y^2 - 2xy + x + y - 1

Упростим уравнение, сократив одинаковые слагаемые:

2x + 1 = -y^2 - 2xy + y - 2

Теперь перенесем все слагаемые на одну сторону:

y^2 + 2xy - y + 2x - y - 2 - 1 = 0

y^2 + 2xy - y + 2x - y - 3 = 0

y^2 + 2xy - 2y + 2x - 3 = 0

Далее, чтобы привести уравнение к каноническому виду, нам нужно провести линейное преобразование координат. Для этого введем новые переменные u и v, связанные с x и y следующим образом:

u = x + y v = x - y

Теперь произведем замену в уравнении:

(v + u)^2 + 2(v + u)(v - u) - 2(v + u) + 2u - 3 = 0

(v + u)^2 + 2(v^2 - u^2) - 2(v + u) + 2u - 3 = 0

(v + u)^2 + 2v^2 - 2u^2 - 2v - 2u + 2u - 3 = 0

(v + u)^2 + 2v^2 - 2u^2 - 2v - 3 = 0

Полученное уравнение является каноническим видом данной кривой второго порядка. Теперь рассмотрим каждый из четырех типов кривых по отдельности.

1. Эллипс: Уравнение эллипса в каноническом виде имеет следующий вид: (v + u)^2/a^2 + v^2/b^2 = 1,

где a и b - полуоси эллипса. Из уравнения канонического вида: (v + u)^2 + 2v^2 - 2u^2 - 2v - 3 = 0,

можем выразить полуоси: a^2 = 1/2, b^2 = 1/2.

Значит, полуоси эллипса равны a = b =