Question

Відомо, що h(x) - квадратична функція, причому h(1) = 0, h'(1) = 2, а h''(1) = -1. Знайдіть значення h(2).

Answer 1

Ответ:

h(2)=1,5

Пошаговое объяснение:

h(x)=ax²+bx+c;

h'(x)=2ax+b;

h''(x)=2a;  h''(1)=-1; -1=2a;  a=-1/2=--0,5;

h'(1)=2; 2=2*(-1/2)*1+b;  b=2+1=3;

h(1)=0; -1/2*1²+3*1+c=0;  c=-3+1/2=-2,5

h(x)=-0,5x²+3x-2,5;

h(2)=-0,5*2²+3*2-2,5=-2+6-2.5=1,5

Answer 2

З огляду на надану інформацію про початкові та похідні значення функції h(x) в точці x = 1, ми можемо використовувати ряд Тейлора для апроксимації функції h(x) навколо цієї точки. Ряд Тейлора для функції h(x) має вигляд:

$h(x) = h(1) + h'(1)(x - 1) + \frac{h''(1)}{2!}(x - 1)^2 + \ldots.$

Підставимо відомі значення:

$h(x) = 0 + 2(x - 1) - \frac{1}{2}(x - 1)^2 + \ldots.$

З умови відомо, що h(x) є квадратичною функцією, тобто ми можемо представити її у вигляді $h(x) = ax^2 + bx + c$, де $a$, $b$ і $c$ - це невідомі коефіцієнти.

Порівнюючи це рівняння з розкладом Тейлора, ми бачимо, що $a = -\frac{1}{2}$, $b = 2$ (оскільки $h'(1) = 2$) і $c = 0$ (оскільки $h(1) = 0$).

Тепер ми можемо підставити ці коефіцієнти у вираз для $h(x)$:

$h(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 2x.$

Щоб знайти значення $h(2)$, підставимо $x = 2$ у вираз:

$h(2) = -\frac{1}{2}(2)^2 + 2(2) = -2 + 4 = 2.$

Отже, $h(2) = 2$.