Question

Sin^2(2x)-Sin^2(x)=1/4 Помогите пожалуйста. Это срочно.

Answer 1

Дано уравнение sin²(2x)-sin²(x)=1/4.

Заменим sin²(2x) = 1 - cos²(2x).

Косинус двойного угла заменим:

1 - (1 – 2sin2(х)) - sin²(x) = 1/4. Приводим подобные:

sin²(x) = 1/4. Извлекаем корень из обеих частей уравнения.

sin(x) = ±(1/2).

Отсюда переменная равна:

sin(x) = (1/2).

x = (π/6) + 2πk, k ∈ Z.

x = (5π/6) + 2πk, k ∈ Z.

sin(x) = -(1/2).

x = (-π/6) + 2πk, k ∈ Z.

x = (-5π/6) + 2πk, k ∈ Z.

Answer 2

Давайте рассмотрим ваше уравнение:

$\sin^2(2x) - \sin^2(x) = \frac{1}{4}$

Мы можем использовать тригонометрические тождества для упрощения данного уравнения.

Известное тригонометрическое тождество: $\sin^2(a) - \sin^2(b) = \sin(a + b) \cdot \sin(a - b)$

Применим это тождество к вашему уравнению: $\sin^2(2x) - \sin^2(x) = \sin(2x + x) \cdot \sin(2x - x) = \sin(3x) \cdot \sin(x)$

Теперь наше уравнение выглядит следующим образом: $\sin(3x) \cdot \sin(x) = \frac{1}{4}$

Чтобы найти решение, мы можем рассмотреть два случая: когда $\sin(3x) = \frac{1}{2}$ и $\sin(x) = \frac{1}{2}$, и когда $\sin(3x) = -\frac{1}{2}$ и $\sin(x) = -\frac{1}{2}$.

Первый случай: $\sin(3x) = \frac{1}{2}$ и $\sin(x) = \frac{1}{2}$

Решения для $x$ в интервале $[0, 2\pi]$ для первого случая: $x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$

Второй случай: $\sin(3x) = -\frac{1}{2}$ и $\sin(x) = -\frac{1}{2}$

Решения для $x$ в интервале $[0, 2\pi]$ для второго случая: $x = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}$

Итак, у вас есть 8 решений в интервале $[0, 2\pi]$, которые удовлетворяют данному уравнению.