Question

Исследовать функцию z = 1/2xy + (47 - x - y)(x/3 + y/4) на экстремум

Answer 1

$z = \dfrac{1}{2} xy + (47 - x - y)\left(\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{4} \right) = \dfrac{1}{2} xy + \dfrac{47}{3}x + \dfrac{47}{4}y - \dfrac{x^{2}}{3} - \dfrac{xy}{4} - \dfrac{xy}{3} - \dfrac{y^{2}}{4} =$

$= -\dfrac{1}{12} xy + \dfrac{47}{3}x - \dfrac{x^{2}}{3} + \dfrac{47}{4}y - \dfrac{y^{2}}{4}$

1) Необходимые условия экстремума:

$z'_{x} = \dfrac{\partial z}{\partial x} = -\dfrac{1}{12}y + \dfrac{47}{3} - \dfrac{2}{3}x$

$z'_{y} = \dfrac{\partial z}{\partial x} = -\dfrac{1}{12}x + \dfrac{47}{4} - \dfrac{1}{2}y$

$\displaystyle \left \{ {{ -\dfrac{1}{12}y + \dfrac{47}{3} - \dfrac{2}{3}x = 0} \atop { -\dfrac{1}{12}x + \dfrac{47}{4} - \dfrac{1}{2}y = 0}} \right.$

$\displaystyle \left \{ {{\dfrac{2}{3}x + \dfrac{1}{12}y = \dfrac{47}{3} \ \ \ | \cdot 12} \atop { \dfrac{1}{12}x + \dfrac{1}{2}y = \dfrac{47}{4} \ \ \ |\cdot 12}} \right.$

$\displaystyle \left \{ {{8x + y = 188} \atop {x + 6y = 141}} \right.$

$\displaystyle \left \{ {{y = 188 - 8x \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \atop {x + 6(188 - 8x) = 141}} \right.$

$\displaystyle \left \{ {{y=20} \atop {x=21}} \right.$

Таким образом, $M(21; \ 20)$ — стационарная точка.

2) Достаточные условия экстремума:

$A = z''_{xx} \bigg|_{M}= -\dfrac{2}{3}; \ \ \ B = z''_{xy} \bigg|_{M} = -\dfrac{1}{12}; \ \ \ C = z''_{yy} \bigg|_{M} = -\dfrac{1}{2}$

Составим матрицу $H = \left(\begin{array}{ccc}A&B\\B&C\\\end{array}\right) =\left(\begin{array}{ccc}-\dfrac{2}{3} & -\dfrac{1}{12} \\ \\-\dfrac{1}{12}& -\dfrac{1}{2} \\\end{array}\right)$

Тогда $\Delta_{1} = A = -\dfrac{2}{3} < 0$ и $\Delta_{2} = AC - B^{2} = -\dfrac{2}{3} \cdot \left(-\dfrac{1}{2} \right) - \left(-\dfrac{1}{12} \right)^{2} = \dfrac{47}{144} > 0$

По критерию Сильвестра точка $M(21; \ 20)$ является точкой локального максимума.

$z = z_{\max} (21; \ 20) = \dfrac{1}{2} \cdot 21 \cdot 20 + (47 - 21 - 20)\left(\dfrac{21}{3} + \dfrac{20}{4} \right) = 282$

Ответ: $z = z_{\max} (21; \ 20) = 282$

Answer 2

Для исследования функции на экстремумы, нам потребуется проанализировать её частные производные и матрицу вторых частных производных. Первым шагом является нахождение частных производных функции z относительно переменных x и y.

Дана функция: z = 1/2xy + (47 - x - y)(x/3 + y/4)

Вычислим частные производные: Частная производная по x: ∂z/∂x = 1/2 * y - (x/3 + y/4) - (47 - x - y) * (1/3)

Частная производная по y: ∂z/∂y = 1/2 * x - (x/3 + y/4) - (47 - x - y) * (1/4)

Теперь найдем точки, где обе частные производные равны нулю. Это могут быть критические точки, в которых функция может иметь экстремумы.

Для ∂z/∂x: 1/2 * y - (x/3 + y/4) - (47 - x - y) * (1/3) = 0

Для ∂z/∂y: 1/2 * x - (x/3 + y/4) - (47 - x - y) * (1/4) = 0

Решение этой системы уравнений позволит нам найти критические точки функции.

После нахождения критических точек, нужно анализировать матрицу вторых частных производных (матрицу Гессе) для определения типа экстремума в каждой из точек (минимум, максимум или седловая точка).

Для определения типа экстремума можно использовать следующие критерии:

1. Если определители матрицы Гессе положительны и все собственные значения положительны, то это локальный минимум.
2. Если определители матрицы Гессе отрицательны и все собственные значения отрицательны, то это локальный максимум.
3. Если определители матрицы Гессе меняют знаки или есть как положительные, так и отрицательные собственные значения, то это седловая точка.

Пожалуйста, предоставьте значения x и y, при которых ∂z/∂x и ∂z/∂y равны нулю, чтобы продолжить анализ.